求证f(x)在(0,正无穷)上是减函数

发布网友 发布时间：2024-10-02 21:22

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热心网友 时间：2024-10-28 01:14

解：因为：f（xy）=f（x）f(y),任意0 <x1<x2
不妨令x=x2/x1>1,y=x1，f(x1)>0 ,f（x2）>0
则：f（x2）=f（x2/x1）f(x1),
即：0<f（x2/x1）=f（x2）/f(x1)<1,
所以f（x2）<f(x1)
所以f（x）在(0，正无穷)上是减函数。

热心网友 时间：2024-10-28 01:21

首先证明f(x)≠0。如果存在x0≠0使f(x0)=0，那么对于定义域上的任意x，f(x)=f((x/x0)*x0)=f(x/x0)f(x0)=0，和已知条件的“x>1时0<f(x)<1“相矛盾。所以不存在x0≠0使f(x0)=0，即f(x)≠0。
其次证明f(x)>0。若取y=x，则有f(x^2)=f(x)^2。f(x)=f(|x|)=f((√|x|)^2)=f(√|x|)^2≥0。但因f(√|x|)≠0，所以f(x)>0。
最后证减函数。现对于任意x1、x2>0，不妨设x1>x2，则x1/x2>1
由已知条件，0<f(x1/x2)<1
f(x1)=f((x1/x2)*x2)=f(x1/x2)f(x2)
因f(x2)>0，f(x1)/f(x2)=f(x1/x2)<1
f(x1)<f(x2)
所以f(x)在(0,+∞)上是减函数。

热心网友 时间：2024-10-28 01:16

解：因为：f（xy）=f（x）f(y),任意0 <x1<x2
不妨令x=x2/x1>1,y=x1，f(x1)>0 ,f（x2）>0
则：f（x2）=f（x2/x1）f(x1),
即：0<f（x2/x1）=f（x2）/f(x1)<1,
所以f（x2）<f(x1)
所以f（x）在(0，正无穷)上是减函数。

热心网友 时间：2024-10-28 01:18

首先证明f(x)≠0。如果存在x0≠0使f(x0)=0，那么对于定义域上的任意x，f(x)=f((x/x0)*x0)=f(x/x0)f(x0)=0，和已知条件的“x>1时0<f(x)<1“相矛盾。所以不存在x0≠0使f(x0)=0，即f(x)≠0。
其次证明f(x)>0。若取y=x，则有f(x^2)=f(x)^2。f(x)=f(|x|)=f((√|x|)^2)=f(√|x|)^2≥0。但因f(√|x|)≠0，所以f(x)>0。
最后证减函数。现对于任意x1、x2>0，不妨设x1>x2，则x1/x2>1
由已知条件，0<f(x1/x2)<1
f(x1)=f((x1/x2)*x2)=f(x1/x2)f(x2)
因f(x2)>0，f(x1)/f(x2)=f(x1/x2)<1
f(x1)<f(x2)
所以f(x)在(0,+∞)上是减函数。