已知过圆O直径ab上的一点P作任意弦cpd,弦ac,ad的延长线过p点且垂直于a...

发布网友 发布时间：2024-10-03 11:31

我来回答

共1个回答

热心网友 时间：2024-10-11 04:29

证明：1。连结BC，BD。

               因为       AB是圆O的直径，

               所以        角ACB=角ADB=90度，

               因为        GH垂直于AB，

               所以         角APM=角APN=90度，

               因为         角ACB=角APM=90度，角BAC=角MAP，

               所以          三角形ABC相似于三角形AMP，

               所以          AC/AP=AB/AM

               所以          AM*AC=AP*AB，

                同理：      三角形ABD相似于三角形ANP，

                所以          AD/AP=AB/AN

                所以          AD*AN=AP*AB， 

                所以          AD*AN=AM*AC。

           2。因为          AD*AN=AM*AC，

                 所以          AD/AM=AC/AN，

              又因为         角DAC=角MAN，

                 所以          三角形ADC相似于三角形AMN，

                 所以           角ADC=角AMN，

             又因为            角DPN=角CPM，

                 所以           三角形DPN相似于三角形CPM，

                 所以           PD/MP=NP/PC，即：PC*PD=MP*NP，

                 因为           AB是圆O的直径，GH垂直于AB于P，

                  所以          PG平方=PA*PB，

                  因为           直径AB与弦CD相交于点P，

                  所以            PA*PB=PC*PD

                  所以            PG平方=MP*NP。