...正方形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上,∠EAF=45°,AE、AF分别于BD相 ...

发布网友发布时间：2024-10-03 12:46

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热心网友时间：2024-10-19 06:39

解答：证明：如图，

延长BC到G，使BG=DF连接AG，在AG截取AH=AN，连接MH、BH．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠4=∠5=45°，∠BAD=∠ADF=∠ABE=∠ABG=90°，
在RT△ABG和RT△ADF中，
AB＝AD∠ABG＝∠ADF＝90°BG＝DF，
∴RT△ABG≌RT△ADF（SAS），
∴∠1=∠2，∠7=∠G，AF=AG，
∴∠GAE=∠2+∠3=∠1+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°=∠EAF，
在△AMN和△AMH中，
AN＝AH∠MAN＝∠MAH＝45°AM＝AM，
∴△AMN≌△AMH（SAS），
∴MN=MH，
∵AF=AG，AN=AH，
∴FN=AF-AN=AG-AH=GH，
在△DFN和△BFH中，
DF＝BG∠7＝∠GFN＝GH，
∴△DFN≌△BGH（SAS），
∴∠6=∠4=45°，DN=BH，
∴∠MBH=∠ABH+∠5=∠ANG-∠6+∠5=90°-45°+45°=90°
∴BM2+DN2=BM2+BH2=MH2=MN2，
在△AEF和△AEG中，
AE＝AE∠EAF＝∠EAG＝45°AF＝AG
∴△AEF≌△AEG（SAS），
∴EF=EG，
△CEF周长=CE+CF+EF=BC-BE+CD-DF+EF=BC+CD-（BE+BG）+EF=BC+CD-EC+EF=BC+CD-EF+EF=BC+CD．

热心网友时间：2024-10-19 06:37