...R.(Ⅰ)当a=-1时判断f(x)的单调性;(Ⅱ)若g(x)=f(x)+ax在其定_百度知...
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发布时间：2024-10-03 12:59
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时间：2024-11-05 03:26
f（x）=lnx+1x，∴f′(x)＝x?1x2，
∴当0＜x＜1，f'（x）＜0；当x＞1，f'（x）＞0
∴f（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）g(x)＝f(x)+ax＝lnx?ax+ax，g（x）的定义域为（0，∞），
∴g′(x)＝ax2+x+ax2，因为g（x）在其定义域内为减函数，
所以?x∈（0，+∞），都有g'（x）≤0，
∴g′（x）≤0?ax2+x+a≤0?a(x2+1)≤?x?a≤?xx2+1?a≤[?xx2+1]min，
又∵xx2+1＝1x+1x≤12∴?xx2+1≥?12，
当且仅当x=1时取等号，所以a≤?12．
（Ⅲ）当a=0时，f（x）=lnx．∴h（x）=ex
直线l：y=kx与曲线y＝2x+1h(x)＝2x+1ex没有公共点，
等价于关于x的方程2x+1ex＝kx，即(k?2)x＝1ex（*）在R上没有实数解，
（1）当k=2时，方程（*）可化为1ex＝0，在R上没有实数解，
（2）当k≠2时，方程（*）化为g（x）=xex1k?2＝xex．
令g（x）=xex，则有g′（x）=（1+x）ex，令g′（x）＞0，得x＞-1，g′（x）＜0得x＜-1，
∴g（x）在（-∞，-1）上单调递减，在（-1，+∞）上音调递增，
即当x=-1时，g（x）有极小值，也是最小值g(x)min＝?1e，同时当x→+∞时，g（x）→+∞，
从而g（x）的取值范围为[?1e，+∞)，
∴当1k?2∈(?∞，?1e)时，方程（*）无实数解，
解得k的取值范围是（2-e，2）；
综合（1）、（2），得k的取值范围是（2-e，2]．
