正交矩阵数值线性代数
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发布时间：2024-10-05 07:42
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时间：2024-12-14 20:20
正交矩阵在数值线性代数中扮演着关键角色，其特性在计算中展现出显著的优势。例如，当我们需要寻找或改变空间的正交基时，正交矩阵的形式提供了便利。这种矩阵的特点是行列式为±1，所有特征值的模均为1，这对于数值稳定性极有益，因为它们保证了在乘法过程中误差不会被放大。正交矩阵的条件数为1，这是最理想的，使得矩阵操作更加精确。
许多算法巧妙地利用了正交矩阵，比如Householder反射和Givens旋转。正交矩阵的逆矩阵易于求得，只需简单地对换索引，这在计算上节省了大量资源。局部定支点算法，如高斯消元法中的部分主元策略，虽然主要依赖于置换操作，但它们通常不以矩阵形式直接呈现，而是通过更紧凑的表示，如索引列表。
在处理矩阵时，Givens旋转的独特性尤其引人注目，它只影响被作用的矩阵的两行，从而避免了全量的n次乘法，提高了效率。使用Householder和Givens矩阵的算法，通过优化的乘法和存储方式，使得在实现矩阵操作时能够腾出空间存储额外数据，便于后续的变换。
在矩阵分解中，正交矩阵的应用更是广泛。比如，QR分解M = QR，其中Q是正交矩阵，R是上三角矩阵；奇异值分解M = UΣV，U和V是正交矩阵，Σ是非负对角矩阵；谱分解S = QΛQ，S是对称矩阵，Q是正交矩阵，Λ是对角矩阵；还有极分解M = QS，Q是正交矩阵，S是对称非负确定矩阵。这些分解在各种数值计算中都是不可或缺的工具。
扩展资料
正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是正规矩阵。尽管我们在这里只考虑实数矩阵，这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，对于复数的矩阵这导致了归一要求。
