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设函数f(x)=lnx+ax, 若f(x)在[2,3]上是增函数,求a的取值范围

发布网友 发布时间:2024-10-04 20:52

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热心网友 时间:2024-10-26 17:54

定义域为x>0
a>=0时,lnx, ax 都为增函数,因此f(x)=lnx为增函数,符合要求
a<0时,f'(x)=1/x+a=0, 得极值点x=-1/a,
在0<xa时为增函数,因此有; -1/a>=3, 得:-1/3=<a<0
综合得: a>=-1/3.

热心网友 时间:2024-10-26 17:54

一个函数在某区间是增函数,则在区间内其导函数恒≥0。因为f’(x)=1/x+a,就是把1/x的图像向上向下平行移动。因为1/x在x∈[2,3]上为减函数,所以f’(x)在x∈[2,3]上也是减函数。则f’(x)min=f’(3)=1/3+a,则令1/3+a≥0即可。
解得a≥1/3。因此,当a∈[1/3,+∞)时,f(x)在x∈[2,3]上为增函数。
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