...线上的点E作AD的垂线EF,E为垂足,EF与AB的延长线相交于点F,点O在...

发布网友发布时间：2024-10-04 19:46

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热心网友时间：2024-10-27 14:06

解:
(1)∵AE⊥EF， EF∥BC，∴AD⊥BC． (1分)
在△ABD和△ACD中，∵BD＝CD，∠ADB＝∠ADC，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD．(或者：又∵BD＝CD，∴AE是BC的中垂线．)   (2分)
∴AB＝AC．   (3分)
(2)连BO，∵AD是BC的中垂线，∴BO＝CO． (或者：证全等也可得到BO＝CO．)
又AO＝CO，∴AO＝BO＝CO．     (4分)
∴点O是△ABC外接圆的圆心．      (5分)

（3）解法1：
∵∠ABE＝∠ADB=90°，∴∠ABD+∠BAD=∠AEB+∠BAE=90 °，
∴∠ABD=∠AEB．    又∵∠BAD=∠EAB，   ∴△ABD∽△AEB．
∴ (或者：由三角函数得到 )     （6分）
在Rt△ABD中，∵AB=5，BD= BC=3， ∴AD=4．（7分）
∴AE= ．    (8分)
解法2：
∵AO＝BO， ∴∠ABO＝∠BAO．
∵∠ABE＝90°，∴∠ABO＋∠OBE＝∠BAO＋∠AEB＝90°．
∴∠OBE＝∠OEB， ∴OB＝OE．    (6分)
在 Rt△ABD中，∵AB=5，BD= BC=3，∴AD=4．
设 OB＝x，则 OD＝4－x，由3 2 +（4-x) 2 =x 2 ,解得x= ． (7分)
∴AE＝2OB＝．(8分)
解法3：
设AO 的延长线与⊙O交于点E 1 ，则AE 1 是⊙O的直径， ∴∠ABE 1 =90°．
在Rt△ABE和Rt△ABE 1 中，∵∠BAE＝∠BAE 1 ，∠ABE＝∠ABE 1 ＝90 °，AB＝AB,
∴△ABE≌△ABE 1 ，∴AE=AE 1 ．    (6分)   (同方法2) ∵BO= ．（7分）
∴AE=2OB= ． (8分)
略