已知x,y,z∈R,且x+y+z=1,x2+y2+z2=3,则xyz的最大值是__
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发布时间：2024-10-05 09:21
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时间：2024-10-05 09:41
∴①2-②可得：xy+yz+xz=-1
∴xy+z（x+y）=-1
∵x+y+z=1，
∴x+y=1-z
∴xy=-1-z（x+y）=-1-z（1-z）=z2-z-1
∵x2+y2=3-z2≥2xy=2（z2-z-1）?3z2-2z-5≤0?-1≤z≤53
令f（z）=xyz=z3-z2-z，则f′（z）=3z2-2z-1=（z-1）（3z+1）
令f′（z）＞0，可得z＞1或z＜?13，
∴f（z）在区间[-1，-13]单调递增，在[-13，1]单调递减，在[1，53]单调递增，
当z=-13时，xyz的值为527，当z=53时，xyz的值为527，
∴xyz的最大值为527．
故答案为：527．
