已知数列{an}中,a1=2,点(an,an+1)在直线y=2x+1上

发布网友发布时间：2024-10-09 11:34

共2个回答

热心网友时间：2024-12-13 06:05

(1)由题可知：A(n+1)=2An+1
所以：A(n+1）+1=2（An+1）
则 [ A(n+1)+1]/(An+1)=2
所以 An+1是以a1+1=3为首项2为公比的等比数列
因此 An+1=3*2^（n-1）
An=3*2^(n-1)-1
(2)由（1）得1/1+A1+1/1+A2+...+An
=1/（1+3*2^0-1）+1/（1+3*2^1-1）+...+1/（1+3*2(n-1)-1）
=1/3+1/3*2+...1/3*2^（n-1)
=1/3(1+1/2+...+1/2^(n-1)
=1/3[(1-1/2^n)/(1-1/2)
=1/3[2-1/2^（n-1)]
=2/3-1/3*2^(n-1)
<2/3

热心网友时间：2024-12-13 06:05

(1)由a(n+1)=2an+1(可以用待定系数法做，这里就省了)
得到a(n+1)+1=2(an+1)
于是an+1是以2为公比的等比数列，首项a1+1=3
于是an+1=3*2^(n-1)
an=3*2^(n-1)-1
(2)1/1+a1+1/1+a2+…+1/1+an
其中1/(1+an)=1/[3*2^(n-1)]
等比数列求和，其n项和为
1/3[2-1/2^(n-1)]
展开就是2/3-1/[3*2^(n-1)]<2/3显然成立的(n是正整数)