lnx的导数为什么等于1/x,求证明

发布网友发布时间：2024-10-09 13:41

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热心网友时间：2024-11-08 20:50

ln(x)的导数为何等于1/x，这是一个常见的微积分问题。要理解这一点，我们可以通过极限法来证明。首先，当我们考虑ln(x)的微分，可以将其表示为：

(\frac{d}{dx} \ln(x)) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\ln(x + \Delta x) - \ln(x)}{\Delta x}

接下来，利用对数的性质，我们可以将分子简化为：

= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\ln\left(\frac{x + \Delta x}{x}\right)}{\Delta x}

由于当Δx趋近于0时，\(\frac{\Delta x}{x}\)趋于0，这是一个小的量，我们可以将其视为等价无穷小，即\(1 + \frac{\Delta x}{x}\)近似为1。因此，分子可以进一步简化为：

= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\ln(1 + \frac{\Delta x}{x})}{\Delta x}

然后，利用对数的导数公式\(\frac{d}{dx} \ln(1 + h) = \frac{1}{1 + h}\)，当\(h\)趋近于0时，我们可以将极限看作是\(\frac{1}{x}\)除以\(\Delta x\)，即：

= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{x + \frac{\Delta x}{x}} \cdot \frac{1}{\Delta x}

简化后，因为\(\Delta x\)趋于0，分子中的\(\frac{\Delta x}{x}\)可以忽略，得到：

= \frac{1}{x} \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x}

最后，我们知道\(\lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x}\)等于无穷大，但在这个极限表达式中，它乘以\(\frac{1}{x}\)，所以整个表达式的结果是：

= \frac{1}{x} \cdot 1 = \frac{1}{x}

因此，ln(x)的导数确实等于\(\frac{1}{x}\)，这就完成了证明。这个结果表明，对数函数的斜率在x不等于0时，随着自变量的增加而减小，其变化率是其倒数。