已知两定点E(-2,0),F(2,0),动点P满足PE•PF=0,由点P向x轴作...
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发布时间：2024-10-09 19:22
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时间：2024-10-09 20:22
∵两定点E（-2，0），F（2，0），动点P满足PE•PF=0，
∴（-2-m，-n）•（2-m，-n）=0，
∴m2+n2=2
设M（x，y），则
∵由点P向x轴作垂线PQ，垂足为Q，点M满足PQ=2MQ，
∴P（x，2y）
∴x2+2y2=2
∴曲线C的方程为x22+y2=1；
（Ⅱ）①若直线l垂直于x轴，此时|AB|=3． …（5分）
②若直线l不垂直于x轴，设直线l的方程为y=kx+m，
则原点O到直线l的距离为|m|1+k2=22，整理可得2m2=1+k2．…（6分）
由y=kx+mx22+y2=1消去y可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可得△＞0，
则x1+x2=-4km1+2k2，x1x2=2(m2-1)1+2k2．
∴|AB|=1+k2•(x1+x2)2-4x1x2=22•(1+k2)(1+2k2-m2)1+2k2…（8分）
∵2m2=1+k2，
∴2 （1+k2）（1+2k2-m2）=（1+k2）（2+4k2-2m2）=（1+k2）（1+3k2）≤（1+2k2）2，
等号当且仅当1+k2=1+3k2，即k=0时成立．
即22•(1+k2)(1+2k2-m2)1+2k2≤2．
所以k=0时，|AB|取得最大值2．…（12分）
