拉普拉斯矩阵的含义
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发布时间：2024-10-10 08:48
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时间：2024-10-21 15:58
首先，我们来介绍梯度的概念。梯度表示一个函数在某一点的方向导数沿该方向取得最大值。若函数[公式]在[公式]处具有一阶连续偏导数，那么在[公式]处的向量[公式]即为函数[公式]在该点处的梯度，记为[公式]。
拉普拉斯算子（Laplace Operator）是在[公式]维欧式空间中的一个二阶微分算子，定义为梯度的散度：[公式]。
以二维函数为例，连续状态下，拉普拉斯算子的形式为[公式]。
在离散状态下，拉普拉斯算子的形式为[公式]，[公式]，[公式]。可以看出，拉普拉斯算子的本质可以看做是对矩阵中某一点进行微小扰动后获得的收益。
接下来，我们将上述结论推广到graph上。设图[公式]具有[公式]个节点，每个节点的领域为[公式]，图上的函数[公式]，其中[公式]表示函数[公式]在节点[公式]处的函数值。对[公式]进行扰动，其可能变为任意一个领域内的节点[公式]。
设每一条边[公式]的权重为[公式]，且[公式]表示[公式]两个节点不相邻，则有[公式]，[公式]，[公式]。
推广到[公式]上的所有节点，我们有[公式]，[公式]，[公式]，[公式]，[公式]，[公式]。
经过推导可以发现，拉普拉斯矩阵的第[公式]行实际上是第[公式]个节点在产生扰动时对其他节点产生的收益累积。
