已知在△ABC中,AD为三角形的角平分线,求证AB/BD=AC/CD

发布网友发布时间：2022-05-09 13:24

共3个回答

热心网友时间：2024-01-30 16:17

证明：过B作BE平行AC与AD的延长线交于点E
所以角E=角CAD 角EBD=角C
所以三角形BDE和三角形CDA相似
所以：BD/CD=BE/AC
因为AD为三角形的平分线
所以角BAD=角CAD
因为角CAD=角E
所以角BAD=角E
所以：AB=BE
所以：AB/AC=BD/CD
所以：AB/BD=AC/CD

热心网友时间：2024-01-30 16:18

过C作CE平行AD交BA所在直线于E，则AB/AE=BD/CD，即AB/BD=AE/CD，再证AE=AC就行，很好证。

热心网友时间：2024-01-30 16:18

证明：方法一：（面积法）
三角形ABD面积S=(1/2)*AB*AD*sin∠BAD,
三角形ACD面积S=(1/2)*AC*AD*sin∠CAD,
所以三角形ABD面积S：三角形ACD面积S=AB:AC
又三角形ABD和三角形ACD是等高三角形，面积的比等于底的比，
即三角形ABD面积S：三角形ACD面积S=BD:CD
所以AB／AC=DB／CD ,
即AB/BD=AC/CD

方法二（相似形）
过C作CN平行于AB交AM的延长线于N
三角形ABM相似三角形NCM,
AB/NC=BM/CM,
又可证明∠CAN=∠ANC
所以AC=CN，
所以AB／AC=MB／MC

方法三（相似形）
过M作MN平行于AB交AC于N
三角形ABC相似三角形NMC,
AB/AC=MN/NC,AN/NC=BM/MC
又可证明∠CAM=∠AMN
所以AN=MN，

所以AB/AC=AN/NC
所以AB／AC=MB／MC
方法四（正弦定理）

作三角形的外接圆，AM交圆于D，

由正弦定理，得，

AB/sin∠BMA=BM/sin∠BAM,

AC/sin∠CMA=CM/sin∠CAM

又∠BAM=∠CAM，∠BMA+∠AMC=180

sin∠BAM=sin∠CAM,sin∠BMA=sin∠AMC,

所以AB／AC=MB／MD

参考资料：http://hi.baidu.com/%CC%D5%D3%C0%C7%E5/blog/item/eaf077fbddfd49829f514657.html