灰色模型(Grey Model)

发布网友发布时间：2022-05-11 00:14

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基于灰色系统理论的灰色模型GM（Grey Model）可以进行数列预测、灾变预测、季节灾变预测、拓扑预测和系统综合预测。地基沉降预测是GM模型的数列预测，这种预测的特点是要求对被预测值等时距的观测^[199]。

最常用的灰色预测模型是GM（1，1）模型，但 GM（1，1）模型仅适用于具有较强指数规律的序列，只能描述单调的变化过程，而对于非单调的摆动发展序列或具有饱和状态的“S”形序列，可以考虑建立GM（2，1）模型、DGM模型、Verhulst模型等^[200]。

由前述曲线拟合法预测结果可知，S 形成长曲线模型（Pearl 曲线模型）的预测效果最好，因此，本书利用可以描述饱和状态过程（S形过程）的灰色 Verhulst模型来预测淤泥软基的沉降发展趋势。灰色Verhulst模型是在德国生物学家Verhulst（1837）所建立的Verhulst模型上发展而来的。灰色Verhulst模型的建模及求解过程如下^[200]。

设相同时间间隔内的沉降增量数据序列为原始序列，且原始序列S^（0^）为

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S^（0）的一次累加生成序列（1 –AGO序列）S^（1）为

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式中：

，k=1，2，…，n。

S^（1^）的紧邻均值生成序列Z^（1^）为

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且Z^（1^）满足：

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则可得灰色GM（1，1）幂模型为

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当θ=2 时的GM（1，1）幂模型即为灰色Verhulst模型，其灰色微分方程为

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灰色Verhulst模型的白化方程为

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记灰色Verhulst模型参数列为

=[a，b]^T，其中-a为发展系数，b为灰色作用量，令：

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则参数列

的最小二乘估计为

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灰色Verhulst模型之白化方程的解为

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灰色Verhulst模型的时间响应式为

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模型预估值（还原值）

为

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为了评价预估模型的可信度，必须对模型的精度进行检验，常用的检验方法有：

1）残差检验——残差检验是对模型预估值

和实测值S^（0）（k）之间的残差q（k）和相对残差（误差）ε（k）进行逐点检验，其中：

残差q（k）=S^（0）（k）-

，k=1，2，…，n

相对残差（误差）

，k=1，2，…，n

2）关联度检验——关联度检验即检验灰色模型值曲线与建模序列曲线的相似程度。

3）后验差检验——后验差检验是对残差分布的统计特征进行检验，它由后验差比值C和小误差概率P 这两个指标共同检验。

记原始数列S^（0）（k）的方差为

，残差数列q（k）中非零残差的平均值和方差分别为

和

，则后验差比值C和小误差概率P分别为

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灰色模型的精度等级=max（P的级别，C的级别），P，C的级别通过查表 5.10 确定。

表5.10 灰色预估模型的精度检验