<<九章算术>>中的折竹问题
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发布时间：2022-05-23 21:42
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时间：2024-03-09 10:17
田亩丈量和天文观测是我国几何学的主要起源，这和外国没有什么不同，二者导出面积问题和勾股测量问题。稍后的计算容器容积、土建工程又导出体积问题。
我国古代几何学的特色之一是，依据这些方面的经验成果，总结提高成一个简单明白、看起来似乎极不足道的一般原理——出入相补原理，并且把它应用到形形色色多种多样的不同问题上去。
以下将列举这些不同的应用。
简单应用和比例理论
所谓出入相补原理，用现代语言来说，就是指这样的明显事实：一个平面图形从一处移置他处，面积不变。又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积，因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系。立体的情形也是这样。
应用这一原理，容易得出三角形面积等于高底相乘积的一半这一通常的公式，由此以定任意多角形的面积。作为另一简单实例，可以观察左图，如果看作把△ACD移置△ACB处，又把Ⅰ、Ⅱ各移到Ⅰ’、Ⅱ’，那么依出入相补原理有：
Ⅲ＝Ⅲ’，□PC＝□RC，……（指面积相等）
由此得
PO×OS＝RO×OQ，PO×QC＝RB×BC，……
而 PO＝AR，OS＝QC，PQ＝AB，RB＝OQ，……
因而 AR∶OQ＝RO∶QC，AB∶OQ＝BC∶QC，……
就是相似勾股形ARO和OQC、ABC和OQC的相应勾股成比例。并且可以导出其他相应部分的比例关系。
以上这些极简单的结果虽然没有在《九章》中明白说出，但是曾经多处用这些关系来解决各种具体问题，参看《刘注》。
测望术和重差理论
在《周髀》中，就有用两表测日影以求日高的方法，计算的公式是：
见右图，其中A是日，BI是地平面，ED、GF是先后两表，DH和FI是日影。《海岛》改测日高为测海岛的高，同图AB是海岛，H、I是人目望岛顶和两表上端相参合的地方，于是日高公式成为：
刘徽证明和所用的图都已经失传，但是据现存《日高说》和残图以及其他佐证，原证当大致如下：
由出入相补原理，得
□JG＝□GB，（1）
□KE＝□EB，（2）
相减得 □JG－□KE＝□GD，
所以 （FI－DH）×AC＝ED×DF，
即 表目距的差×（岛高－表高）＝表高×表距。
这就得到上述公式。
按《海岛》共九题都属测望之类，所得公式分母上都有两测的差，“重差”这一名称可能由此而来。其余八题公式都可依出入相补原理用和上面类似的方法证明，现在从略。
元朱世杰《四元玉鉴》中有和《海岛》完全类似的几个题，朱世杰对这些题的解法应该有古代相传下来的一定来历。依据朱对海岛一题的解法，我们认为原证比上面所示的可能稍复杂一些。如下页的图，现在重作证明如下：
由出入相补原理，除（1）、（2）外又有
□PG＝□GD，（3）
由（1）、（2）、（3）得
□JN＝□EB＝□KE，
所以MI＝DH，（4）
FM＝FI－MI＝FI－DH＝表目距的差。
由（3）式就得到海岛公式。
如果依照欧几里得几何体系的习惯证法，那就自然应该添一平行线GM’‖AH，如下图，再利用相似三角形和比例理论作证。清代李璜以及近代中外数学史家大都依这一方法补作海岛公式的证明，这当然不是刘徽的原意，也和我国古代几何的传统相违背。注意作平行线的时候应有FM’＝DH，和前面（4）式相比，M和M’的位置完全不同。
明末耶稣会传教士利玛窦（1552—1610）来我国，他的主要学术工作之一是介绍欧几里得几何体系。他曾口授《测量法义》一书，其中载有和海岛题完全类似的一题。在他所作的证明中，需要在FI上取一点M使（4）式成立，再用比例理论作证，见本页上图。按常理来说，利玛窦应该作平行线而取M’使FM’＝DH，但是他一反欧几里得惯例而和我国古代传统不谋而合，颇使人迷惑不解。现在提出这一问题，希望大家共同探讨。
勾股定理
在《周髀》和《九章》中，都已经明确给出了勾股定理的一般形式：勾2＋股2＝弦2。虽然原证不传，但是据《勾股说》以及《刘注》，都依出入相补原理证明，并且有遗留到现在可以用来作证的赵爽残图，这几方面互相参照，原证应该大致如下：
如右图所示，勾股形是ABC，BCED是勾方，EFGH是股方，把二者的和DBCFGH中的△IBD移到△ABC，△GIH移到△GAF，就得到ABIG＝弦2，由此就得到勾股定理。
欧几里得《几何原本》中勾股定理的证明如下图所示，其中要先证有关三角形全等形以及三角形面积的一些定理，为此要作不少准备工作，因而在《几何原本》中直到卷一之末出现这一定理，而在整个《几何原本》中几乎没有用到。而在我国，勾股定理在《九章》中已经有多种多样的应用，成为两千来年数学发展的一个重要出发点，参阅以下各节和文末附表。
在东西方的古代几何体系中，勾股定理所占的地位是颇不相同的。
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