3元2次方程解法 (x^2+y^2-1)^3-x^2*y^3=0
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发布时间：2022-05-23 21:00
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时间：2023-11-27 00:42
如果你要求实数解，肯定有无数多组。两边同时开3次方可得
x^2 + y^2 - 1 = x^(2/3) * y
把这个看作关于y的二次方程，对每一个实数x，用二次方程的求根公式就可以解出y（当然对x要求判别式不小于0）
如果你要求整数解，那么上面可以看出x是一个立方数，设x = z^3,不定方程化为
z^6 + y^2 - 1 = z^4 * y，关于y的二次方程的判别式△必须是完全平方数
即z^8 - 4 * (z^6 -1) = k^2
整理得(z^4 - 2 * z^2) ^2 + 4 * z^4 + 4 = k^2
与(z^4 - 2 * z^2 + 1) ^2 - (3*z^4 - 4 * z^2 - 3) = k^2
如果3*z^4 - 4*z^2 - 3 > 0，那么k^2就严格夹在两个完全平方数之间，因而不可能是完全平方数
所以3 * z^4 - 4*z^2 - 3 <= 0,只能有z = -1, 0, 1
相应的x = -1, 0, 1，代入原来的方程可以解得y
所以的解为(x, y) = (-1, 1) (-1, 0)(0, -1)(0, 1)(1, 1)(1, 0)
