煤柱-顶板系统协同作用的尖点突变模型与失稳机制

发布网友发布时间：2022-05-23 20:51

共1个回答

热心网友时间：2023-11-24 18:48

一、力学模型

矿山中冲击地压有相当一部分是发生在各种煤柱中。在坚硬的岩石顶板和底板下采用房柱式或刀柱式采煤时，如工作面很宽，常预留煤柱支撑顶板。因煤柱渐进破坏发生冲击地压时，顶板岩层并不破坏，仅参与释放能量，如大同煤矿与江苏三和尖煤矿发生的冲击地压就是如此。考虑工作面很宽且对称，煤柱宽度b和顶板厚度h_b远小于工作面推进度，因此，可把顶板岩层视为弹性梁。梁的自重及上部煤（岩）层的重力简化为强度为q的分布力，作用于梁顶面。在以上条件下，煤柱的压缩量将远大于未采煤层的压缩量。为简化分析，设未采煤层是刚性的，梁是固支的，其力学模型如图10-1所示。

根据损伤力学^［14］，在单轴压缩下，岩石或煤的本构关系能够表达为：

σ=Eε［1-D（ε）］（10-1）

式中，σ和ε分别是岩（煤）样的应力和弹模；D（ε）为损伤变量。

煤柱的本构关系是具有弱化性质的非线性关系。Hudson和Fairhurst^［15］曾用正态分布模型描述这种弱化性质；潘一山等^［10］，徐曾和等^［11］曾用负指数模型描述之；秦四清等^［16］，唐春安^［5］则采用Weibull分布模型描述之。Weibull分布模型能够很好地描述试验结果，具有广泛的适用性。这里我们采用Weibull分布模型描述煤柱的本构关系，即

非线性岩土力学基础

式中，ε₀为平均应变的测度；m是曲线形状参数，它的物理意义是局部强度变化的测度，称为均匀性指标。m=1时，分布为指数的；m=5时，很接近正态分布；当m→∞时，强度变化趋于零，材料性质为理想脆性的，例如玻璃就是这种材料。可看出，m越大，材料的均匀性及脆性程度越大，其应变软化性质越明显（如图10-2所示），我们也可称m为脆性指标。

图10-1 柱式采煤煤柱-顶板系统的力学模型

图10-2 不同m值的应变软化介质的本构曲线（E=100MPa，ε₀=0.1）

对截面面积为A，高为h 的煤柱，可把式（10-2）表达为力P 与煤柱压缩量 u 的关系，即

非线性岩土力学基础

式中，k₀=

为煤柱的初始刚度。根据材料力学理论^［17］，梁的弯曲方程为：

非线性岩土力学基础

其边界条件满足：y′（0）=y（0）=0。对式（10-5）积分并利用边界条件得到：

非线性岩土力学基础

当z=l时的挠度为u，代入上式，得到：

非线性岩土力学基础

二、尖点突变模型

弹性梁和煤柱组成的力学系统，其力的平衡条件（平衡曲面）可由式（10-7）得到：

非线性岩土力学基础

式中，V为系统的势能；E_e为梁的弹性模量；I为梁的惯性矩。

根据平衡曲面的光滑性质，可求得尖点。在尖点处，有V‴=0，得到：

非线性岩土力学基础

即尖点位于煤柱本构曲线的拐点处。将平衡曲面方程（10-8），相对于u₁作Taylor展开，并截取至3次项，得到：

非线性岩土力学基础

其中，

非线性岩土力学基础

式中，k是梁的抗弯刚度k₂与煤柱本构曲线拐点处的绝对值刚度k₁之比，简称为刚度比；参数ξ与分布力q和煤柱在应变曲线拐点处的刚度k₁及位移u₁有关，称为几何-力学参数。由式（10-12）和式（10-13）知，系统的控制变量a和b完全由刚度比k和ξ决定。

将式（10-12）和式（10-13）代入分岔集方程

D=4a³+27b²=0 （10-18）

得到：

非线性岩土力学基础

其中：

非线性岩土力学基础

如图10-3所示，三维空间的坐标分别为控制参数a，b和状态变量x。从B点出发，随着控制参数的连续变化，系统状态沿路径B演化到B′，状态变量连续变化，不发生突变；而从A点出发沿路径AA′演化，当接近折叠翼边缘时，只要控制参数有微小的变化，系统状态就会发生突变，从折叠翼的下叶跃迁到折叠翼的上叶。这说明系统只有在跨越分岔集时，才能发生突变。因此，式（10-19）即为煤柱-顶板系统突发失稳的充要力学条件判据。

图10-3 平衡曲面与尖点突变模型

由式（10-19）知，当a≤0，即k≤1时，D可能等于零。因此，系统发生突变的必要条件是：

k≤1 （10-21）

即系统失稳与刚度比有较大相关性。由式（10-14）知，在其他参数不变的情况下，k随m的增大而减小。m值越大（刚度比越小），即材料的脆性程度越高，越易引发突变。

三、煤柱峰后刚度与尺度及含水量的关系

众所周知，岩样或煤样有尺度效应。从图10-4可看出，具有不同长径比的岩样，它们的初始刚度值k₀不变，但峰后刚度随长径比的增加而增加。这说明具有较小直径和较高高度的煤柱将对应较大的峰后刚度值和较小的刚度比，更易于失稳。

图10-5说明水能够减小初始刚度k₀与均匀性指标m，这将导致较大的刚度比和更稳定的系统，意味着煤柱含水量的增加能够减小冲击地压发生的可能性。

图10-4 单轴压缩下，不同长径比的大理岩应力应变曲线^［6］

1～4长径比分别为0.5，1，2，3

图10-5 水对煤样应力应变曲线的影响^［18］

四、系统失稳机制

只有当刚度比、均匀性指标及几何-力学参数满足方程（10-19）时，冲击地压才能发生。该条件只有在煤柱变形进入应变软化阶段后才可能满足。此时，如果k＞1，煤柱的变形将呈现逐渐破坏的特点，不能发生冲击地压；当k≤1 且D→0 时，即系统接近临界状态时，冲击地压能否发生还取决于外部扰动，如爆破震动等。在外部扰动触发下，煤柱产生突然变形，能量快速释放，冲击地压发生。因此，冲击地压的发生并非由于系统的强度不够，而是由于系统的刚度比较小导致的。值得注意的是，随开挖宽度增加，梁的弯曲刚度迅速减小，k≤1的条件容易满足。

在式（10-18）成立的条件下，当a＜0时，方程（10-10）有三个实根，分别是：

非线性岩土力学基础

于是跨越分岔集时（b＜0）状态变量发生突跳（如图10-6所示），跳跃值为：

非线性岩土力学基础

相应于煤柱失稳前后的突跳为：

非线性岩土力学基础

可以看出，煤柱的突跳仅由均匀性（脆性）指标m和刚度比k及在拐点处的位移u₁决定。

图10-6 跨越分岔集时状态变量x的突跳

五、系统演化与蠕变三阶段的关联性

将式（10-14）和式（10-15）代入式（10-13），得到：

非线性岩土力学基础

可见，b的符号取决于系统在煤柱介质应变曲线拐点处，顶板自重及上覆压力与梁和煤柱的抗力比较情况。b＞0，=0，＜0分别对应着系统运动加速度为负（减速蠕变），为零（等速蠕变），为正（加速蠕变）的情况。图10-3中的路径A可以代表一个典型的冲击地压孕育发生的完整过程：顶板运动做稳定—减速变形—匀速变形—加速变形，直至发生冲击地压的全过程。