矩阵三角化和矩阵对角化的方法有区别吗
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发布时间：2022-05-23 17:20
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时间：2023-10-31 13:26
n阶方阵A可以对角化的充要条件：A有n个线性无关的特征向量。
如何对角化矩阵?
（维基参考http://zh.wikipedia.org/wiki/对角化）
考虑矩阵
A=\begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
2 & -4 & 2 \end{bmatrix}.
这个矩阵有特征值
\lambda_1 = 3, \quad \lambda_2 = 2, \quad \lambda_3= 1.
所以 A 是有三个不同特征值的 3 × 3 矩阵，所以它是可对角化的。
如果我们要对角化 A，我们需要计算对应的特征向量。它们是
v_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}, \quad v_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad v_3 = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix}.
我们可以轻易的验证 A v_k = \lambda_k v_k。
现在，设 P 是有这个特征向量作为纵列的矩阵:
P=
\begin{bmatrix}
-1 & 0 & -1 \\
-1 & 0 & 0 \\
2 & 1 & 2 \end{bmatrix}.
则 P 对角化了 A，简单的计算可验证:
P^{-1}AP =
\begin{bmatrix}
0 & -1 & 0 \\
2 & 0 & 1 \\
-1 & 1 & 0 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
2 & -4 & 2 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-1 & 0 & -1 \\
-1 & 0 & 0 \\
2 & 1 & 2 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
3 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1\end{bmatrix}.
注意特征值 \lambda_k 出现在对角矩阵中。
矩阵对角化应用
对角化可被用来有效的计算矩阵A的幂，假如矩阵是可对角化的。比如我们找到了
P^{-1}AP = D \,
是对角矩阵，因为矩阵的积是结合的，
\begin{align} A^k &= (PDP^{-1})^k = (PDP^{-1}) \cdot (PDP^{-1}) \cdots (PDP^{-1}) \\
&= PD(P^{-1}P) D (P^{-1}P) \cdots (P^{-1}P) D P^{-1} = PD^kP^{-1} \end{align}
而后者容易计算，因为它只设计对角矩阵的幂。
矩阵相似
设A，B为n阶矩阵，如果有n阶可逆矩阵P存在，使得P^(-1)*A*P=B成立,则称矩阵A与B相似,记为A~B.
相似对角化的意义
矩阵的相似对角化意义是明显的。相似是一种等价关系，对角化相当于对一类矩阵在相似意义下给出了一种简单的等价形式，这对理论分析是方便的。相似的矩阵拥有很多相同的性质，比如特征多项式，特征根，行列式……如果只关心这类性质，那么相似的矩阵可以看作没有区别的，这时研究一个一般的可对角化的矩阵，只要研究它的标准形式，一个对角矩阵就可以了。而对角矩阵是最简单的一类矩阵，研究起来非常方便。这个过程相当于在一个等价类中选取最顺眼的元素研究。
另外，对角化突出了矩阵的特征值，而过度矩阵T反映了特征向量的信息，对角化过程的直观意义还是很明显的。再结合正交矩阵的概念，可以得到一些不平凡的结论，例如实对称矩阵总可以对角化。
实践中的矩阵对角化作用也很大。别的不说，比如要算一个一般的3阶实对称矩阵A的n次幂，n较大时，按矩阵乘法定义去计算是相当繁琐的，计算复杂度呈指数型增长。但是如果把A可以对角化(实对称矩阵总是可以对角化的)，写为=T^(-1)PT, P是对角阵。那么A^n=T^(-1)P^nT, P^n的计算是很简单的，只要把各特征值^n即可，此时计算A^n的复杂度几乎与n无关。
