请给我柯西不等式的证明

发布网友发布时间：2022-05-23 15:07

共4个回答

热心网友时间：2023-10-26 14:35

Cauchy不等式的形式化写法就是：
记两列数分别是ai, bi，则有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2.
令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)
则恒有 f(x) ≥ 0.
用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.
于是移项得到结论。
还可以用向量来证.
m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn)
mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosX．
因为cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2
这就证明了不等式．
柯西不等式还有很多种方法证，这里只写出两种较常用的证法．

热心网友时间：2023-10-26 14:35

构造f(X)=(a1^2+a^2)*X^2+2*(a1b1+a2b2)*X+(b1^2+b2^2)
变形f(X)=(a1*X+b1)^2+(a2*X+b2)^2恒大于等于0
若a1^2+a^2=0，则有a1=0,a2=0,b1=0,b2=0，得证
若a1^2+a^2〉0，则 =[2*(a1b1+a2b2)]^2-4*(a1^2+a^2)*(b1^2+b2^2)<=0,化简.......
就这样

参考资料：http://www.bossh.net/forums/index.php?showtopic=46720

热心网友时间：2023-10-26 14:36

如证明：（A^2+B^2+C^2）乘以（a^2+b^2+c^2）大于等于（Aa+Bb+Cc）^2 (*)
可令f(x)=(Ax-a)^2+(Bx-b)^2+(Cx-c)^2>=0
A,B,C>0
所以f(x)展开式中，判别式<=0,即(*)成立
对n元的情况可以此类推

热心网友时间：2023-10-26 14:36

给你个链接看看，很详细
或者你直接在www.google.cn上搜索柯西不等式证明

http://www.google.cn/search?complete=1&hl=zh-CN&newwindow=1&q=%E6%9F%AF%E8%A5%BF%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F%E8%AF%81%E6%98%8E&btnG=Google+%E6%90%9C%E7%B4%A2&meta=&aq=f&oq=