黎曼函数 证明连续性
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发布时间:2022-05-21 11:28
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热心网友
时间:2023-10-24 00:10
证明如下:
对任意X属于(0,1),任给正数w,考虑除X以外所有黎曼函数的函数值大于等于w的点,因为黎曼函数的正数值都是1/q的形式,且对每个q,函数值等于1/q的点都是有限的。
所以除X以外所有函数值大于等于w的点也是有限的。设这些点,连同0、1,与X的最小距离为w ,则X 的半径为w的去心邻域中所有点函数值均在(0,w)中,从而黎曼函数在
时的极限为0。
扩展资料
解析延拓之后的ζ函数具有零点,他们分别是分布有序的平凡零点(所有负偶数),以及临界带
内的非平凡零点。以
表示虚部介于0与T之间的非平凡零点数量,则
遵循黎曼 - 冯·曼戈尔特公式: [3]
。
参考资料来源:百度百科-黎曼函数
热心网友
时间:2023-10-24 00:10
规定x=0可写成0/1,因为x=1可写成1/1,x=2可写成2/1,....,x=k可写成k/1,此时R(x)=1,即x=0,1,2,...k,周期为1,所以黎曼函数又可写成:
证明:∀x0∈(-∞,+∞),lim(x→x0)R(x)=0,即R(x)在一切无理点连续,在有理点不连续.
证:由R(x)周期性,只考虑[0,1]中的点,即证x0∈[0,1],lim(x→x0)R(x)=0.
在[0,1]中,分母为1的数:0/1,1/1
分母为2的数:1/2
分母为3的数:1/3,2/3
…
分母为k的数:至多k个,k是正整数
对任意正整数k,[0,1]上分母≤k的有理数有限个
由函数极限定义:
∀ε>0,找δ>0,记k=[1/ε],在[0,1]中分母≤k的有理数记为r1,r2,…,rn
令δ=min{|ri-x0|} (1≤i≤n,ri≠x0)
∀x∈[0,1](0<|x-x0|<δ):
(i)x无理数,R(x)=0
(ii)x有理数,分母>k (前面规定k有限,这里分母>k理所当然)
k=[1/ε],x的分母≥[1/ε]+1,则R(x)≤1/([1/ε]+1)<1/1/ε=ε
合起来就有
|R(x)-0|<ε
∴lim(x→x0)R(x)=0.
结论:黎曼函数在无理数连续,在很小一部分有理数不连续.
∀ε>0,在[0,1]上R(x)≥ε的点至多有限个.
热心网友
时间:2023-10-24 00:11
该题是让我们证明黎曼函数在[0,1]上的任一点上的极限是0,而根据该函数的性质,在无理点处的函数值为0,在有理点处的值为1/p,若能证出任一点的极限都是0,那么我们就自然地能说明黎曼函数在有理点处是不连续的,因为极限值0不等于函数值1/p,在无理点处是连续的。因为第一步必须要证明任一点的极限值为0,像黎曼这样的函数没法直接用lim这样算,因为根据实数的稠密性,无理数和有理数是交错在一起的,因此只能用ε-N语言来证明,那一定是要证|R(x)-0|<ε成立才行,所以|R(x)-0|<ε就是要证明[0,1]上的任一点x的极限均为0,从而进一步说明有理点处不连续,无理点处连续~
黎曼函数证明连续性
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