半直积的定义

发布网友发布时间：2022-04-22 00:01

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在数学中，特别是叫做群论的抽象代数领域中，半直积(semidirect proct)是从其中一个是正规子群的两个子群形成一个群的特定方法。半直积是直积的推广。半直积是作为集合的笛卡尔积，但带有特定的乘法运算。
一些等价的定义
令G为群，N为G的一个正规子群，并且H是G的一个子群。下列命题等价:
1）G = NH 且 N ∩ H = {e} (其中e是G的幺元)
2）G = HN 且 N ∩ H = {e} G的每个元素可以写作唯一的N的一个元素和H的一个元素的积
3）G的每个元素可以写作唯一的H的一个元素和N的一个元素的积
4）自然的嵌入H → G, 和自然的投影G → G/N的复合，给出一个在H 和G/N之间的同构存在同态G → H，它的像是H本身而其核是N
如果这些命题中的一个(从而所有)成立，则称G是一个N和H的半直积，或者说G在N上“*(splits)”，并写作G = N ⋊ H。
基本事实和提醒
若G是正规子群N和子群H的半直积，而且N和H都是有限的，则G的阶等于N和H的阶的积。
注意，和直积的情况不同，半直积通常不是唯一的；如果G和G' 是两个群，都包含N为正规子群，并且都包含H为子群，而且二者都是N和H的半直积，则未必G和G' 是同构的。
外半直积
若G是一个N和H的半直积，则映射φ : H → Aut(N) (其中Aut(N)表示N的所有自同构组成的群)(定义为φ(h)(n) = hnh 对于所有H中的h和N中的n)是一个群同态。实际上N, H 和 φ 一起确定了G 最多相差一个同构，如下面所证。
给定任意两个群N和H（不必是某个群的子群）和一个群同态φ : H → Aut(N)，我们定义一个新群N ⋉φ H，N和H相对于φ的半直积，如下: 基础的集合是集合直积N × H，而群运算*给定为
(n1, h1) * (n2, h2) = (n1 φ(h1)(n2), h1 h2) 对于所有n1, N中的n2 和H中的h1, h2。这确实定义了一个群；其幺元为(eN, eH)而元素(n, h)的逆为(φ(h)(n), h). N × {eH}是同构于N的正规子群, {eN} × H是同胚于H的子群，而该群是这两个子群在上面给出的意义下的半直积。
现在反过来假设我们有上述定义的内半直积，也就是说，一个群G有一个正规子群N,一个子群H，并且使得G的每个元素g 可以唯一的写成g=nh的形式，其中n在N中而h在H中。令φ : H→Aut(N)为如下同态
φ(h)(n)=hnh. 则G同构于外半直积N ⋉φ H; 该同构把乘积nh映到2元组(n,h)。在G中,我们有如下规则
(n1h1)(n2h2) = n1(h1n2h1)(h1h2) 而这是上述外半直积的定义的深层原因，也是一个记住它的方便办法。
群的*引理（splitting lemma）的一个版本称群G同构于两个群N和H的半直积当且仅当存在短正合序列
和一个群同态r : H → G 使得v o r = idH, H上的恒等映射。在这种情况, φ : H → Aut(N)给出如下
φ(h)(n) = u(r(h)u(n)r(h)).