数列待定系数法
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发布时间：2022-05-17 06:55
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热心网友
时间：2023-10-11 18:13
例:数列{an}满足a1=1且an+1+2an=1，求其通项公式。
解:由已知，an+1+2an=1，即an=-2
an-1+1
令an+x=-2(an-1+x)，则an=-2
an-1-3x，于是-3x=1，故x=-13
∴
an-13
=-2(an-1-13
)
故{
an-13
}是公比q为-2，首项为an-13
=23
的等比数列
∴an-13
=23
(-2)n-1=1-(-2)n3
评注:一般地，当A≠1时令an+x=A(an-1+x)有an=A
an-1+(A-1)x，则有
(A-1)x=B知x=BA-1
，从而an+BA-1
=A(an-1+BA-1
)，于是数列{an+BA-1
}是首项为a1+BA-1
、公比为A的等比数列，故an+BA-1
=(a1+BA-1
)An-1，从而
an=(a1+BA-1
)An-1-BA-1
;特别地，当A=0时{an}为等差数列;当A≠0，B=0时，数列{an}为等比数列。
推广:对于an=A
an-1+f(n)(A≠0且A∈R)型数列通项公式也可以用待定系数法求通项公式。
例:数列{an}满足a1=1且an=2an-1+13n(n≥2)，求an。
解:令an+x•13n=2(an+x•13n-1)则an=2an-1+
2x•13n-1-x•13n=53
x•13n-1=5x•13n
而由已知an=2an-1+13n故5x=1，则x=15
。故an+15
•13n=2(an-1+15
•13n-1)
从而{an+15
•13n}是公比为q=2、首项为a1+15
•13=1615
的等比数列。
于是an+15
•13n=1615
×2n-1，则an=1615
×2n-1-15
•13n=115
(2n+3-13n-1)
评注:一般情况，对条件an=Aan-1+f(n)而言，可设an+g(n)=A[an-1+g(n-1)]，则有Ag(n-1)-g(n)=f(n)，从而只要求出函数g(n)就可使数列{
an+g(n)}为等比数列，再利用等比数列通项公式求出an。值得注意的是an+g(n)与an-1+g(n-1)中的对应关系。特别地，当f(n)=B(B为常数)时，就是前面叙述的例8型。
这种做法能否进一步推广呢?对于an=f(n)an-1+g(n)型数列可否用待定系数法求通项公式呢?
我们姑且类比做点尝试:令an+k(n)=f(n)[an-1+k(n-1)]，展开得到
an
=f(n)an-1+f(n)k(n-1)-k(n)，从而f(n)k(n-1)-k(n)=
g(n)，理论上讲，通过这个等式k(n)可以确定出来，但实际操作上，k(n)未必能轻易确定出来，请看下题:
数列{an}满足a1=1且an=n2nan-1+1n+1
，求其通项公式。
在这种做法下得到n2nk(n-1)-k(n)=1n+1
，显然，目前我们用高中数学知识还无法轻易地求出k(n)来。
通过Sn求an
例10:数列{an}满足an
=5Sn-3，求an。
解:令n=1，有a1=5an-3，∴a1=34
。由于an
=5Sn-3………①
则
an-1
=5
Sn-1-3………②
①-②得到an-an-1=5(Sn-Sn-1)
∴an-an-1
=5an
故an=-14
an-1，则{an}是公比为q=-14
、首项an=34
的等比数列，则an=34
(-14
)n-1
评注:递推关系中含有Sn，通常是用Sn和an的关系an=Sn-Sn-1(n≥2)来求通项公式，具体来说有两类:一是通过an=Sn-Sn-1将递推关系揭示的前n项和与通项的关系转化为项与项的关系，再根据新的递推关系求出通项公式;二是通过an=Sn-Sn-1将递推关系揭示的前n项和与通项的关系转化为前n项和与前n-1项和的关系，再根据新的递推关系求出通项公式
热心网友
时间：2023-10-11 18:14
使用待定系数法解题的一般步骤是：
（1）确定所求问题含待定系数的一般解析式；
（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；
（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
例如：“已知x^2-5=（2-A）·x^2+Bx+C，求A，B，C的值．”解答此题，并不困难．只需将右式与左式的多项式中的对应项的系数加以比较后，就可得到A，B，C的值．这里的A，B，C是有待于确定的系数，这种解决问题的方法就是待定系数法．
热心网友
时间：2023-10-11 18:14
数列An中，A1=1，A2=2
满足条件：A(n+2)=(2/3)A(n+1)+(1/3)An………………（1）
设A(n+2)-sA(n+1)=t*[A(n+1)-sAn ]
整理得：A(n+2)=(t+s)A(n+1)- ts*An……………………（2）
（1）和（2）对照得：
t+s=2/3
-ts=1/3
解得：
t=1，s=-1/3
t=-1/3，s=1
取第二组即可：
A(n+2)-A(n+1)=-(1/3)*[ A(n+1)-An ]
所以：
A(n+1)-An是等比数列，公比q=-1/3
首项A2-A1=2-1=1
所以：
A(n+1)-An=(-1/3)^(n-1)
A2-A1=1
A3-A2=(-1/3)^1
A4-A3=(-1/3)^2
........
以上各式相加：
A(n+1)-A1=[1-(-1/3)^n ] / [1-(-1/3)]
A(n+1)=(3/4)*[1-(-1/3)^n]+1=7/4 -(3/4)*(-1/3)^n
所以：
An=(7/4)-(3/4)*(-1/3)^(n-1)
热心网友
时间：2023-10-11 18:15
