如何证明在正整数n和它的倍数2n之间必有一个素数存在???
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发布时间：2022-05-19 13:25
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热心网友
时间：2023-10-12 15:10
我这里只能提个大意, 完整的证明可见华罗庚《数论导引》五章7节.
证明基于对组合数C(2n,n)的分析.
i) 首先有估计, n>4时, 4^n/(2n) < C(2n,n) < 4^(n-1).
ii) 注意到(n,2n]中的素数均整除C(2n,n) = (2n!)/(n!)², 可由此给出这些素数乘积的上界4^(n-1).
将[1,N]拆分成(N/2,N], (N/4,N/2], (N/8,N/4],...可得到素数乘积的上界估计.
具体的结果是(10,N]中素数的乘积 < 4^N.
iii) 更细致的分析C(2n,n)包含的素因子.
由阶乘的因子分解公式, 素数p在C(2n,n)中的指数r满足p^r ≤ 2n.
故大于√(2n)的素因子最多出现一次. 此外, 可证明(2n/3, n]中的素数不整除C(2n,n).
据此将C(2n,n)的素因子分成三段估计:
(1,√(2n)]中的不同素因子最多√(2n)个, 每个的指数都使方幂 ≤ 2n, 这部分 < (2n)^(√(2n)).
(√(2n),2n/3]中的素数至多出现一次, 这部分不超过(10,2n/3]中素数的乘积 < 4^(2n/3).
(n,2n)中若没有素数, 相当于这部分=1.
结合C(2n,n)的下界得到不等式 4^(n/3) < (2n)^(√(2n)+1).
如果熟悉无穷大的阶, 不难知道左端是更高阶的无穷大(比如取对数), n充分大时不可能成立.
也就是对充分大的n, 我们证明了(n,2n)中存在素数.
iv) 详细的估计给出这里的充分大只要n > 4000.
取一列素数2, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83, 163, 317, 631, 1259, 2503, 4001.
后者 < 前者的2倍, 由此可以证明n ≤ 4000的情况.
参考资料：华罗庚, 《数论导引》, 第五章第7节
热心网友
时间：2023-10-12 15:11
当n=1时，1<x<2,之间没有任何整数与素数，因此此命题不正确追问当n>=2时
