行列式的直观定义
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发布时间：2022-05-19 19:39
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时间：2023-10-16 18:23
一个n阶方块矩阵A的行列式可直观地定义如下：
其中，Sn是集合{ 1, 2, ...,n}上置换的全体，即集合{ 1, 2, ...,n}到自身上的一一映射（双射）的全体；
表示对Sn全部元素的求和，即对于每个σ∈Sn， 在加法算式中出现一次；对每一个满足1≤i,j≤n的数对(i,j)，ai, j是矩阵A的第i行第j列的元素。
sgn(σ)表示置换σ∈Sn的符号差，具体地说，满足1≤i<j≤n但σ(i) >σ(j)的有序数对(i,j)称为σ的一个逆序。
如果σ的逆序共有偶数个，则sgn(σ)1，如果共有奇数个，则sgn(σ)-1。
举例来说，对于3元置换σ(2, 3, 1)（即是说σ(1)2，σ(2)3，σ(3)1）而言，由于1在2后，1在3后，所以共有2个逆序（偶数个），因此sgn(σ)1，从而3阶行列式中项 的符号是正的。但对于三元置换σ(3, 2, 1)（即是说σ(1)3，σ(2)2，σ(3)1）而言，可以数出共有3个逆序（奇数个），因此sgn(σ)-1，从而3阶行列式中项 的符号是负号。
注意到对于任意正整数n，Sn共拥有n!个元素，因此上式*有n!个求和项，即这是一个有限多次的求和。
对于简单的2阶和3阶的矩阵，行列式的表达式相对简单，而且恰好是每条主对角线（左上至右下）元素乘积之和减去每条副对角线（右上至左下）元素乘积之和（见图中红线和蓝线）。
2阶矩阵的行列式：
3阶矩阵的行列式：
但对于阶数n≥4的方阵A，这样的主对角线和副对角线分别只有n条，由于A的主、副对角线总条数2n< (n-1)n<n! =Sn的元素个数 因此，行列式的相加项中除了这样的对角线乘积之外，还有其他更多的项。例如4阶行列式中，项 就不是任何对角线的元素乘积。不过，和2、3阶行列式情况相同的是，n阶行列式中的每一项仍然是从矩阵中选取n个元素相乘得到，且保证在每行和每列中都恰好只选取一个元素，而整个行列式恰好将所有这样的选取方法遍历一次。
另外，n×n矩阵的每一行或每一列也可以看成是一个n元向量，这时矩阵的行列式也被称为这n个n元向量组成的向量组的行列式。
