多元函数求极值为什么用AC-B^2判断有无极值？

发布网友 发布时间：2022-04-22 00:59

我来回答

共4个回答

热心网友 时间：2023-12-05 17:06

用二元函数的泰勒展开式就很好理解及证明：

f(x,y) = f(a,b) + f'x(a,b)(x - a) + f'y(a,b)(y - b) + 1/2*[f"xx(a,b)(x-a)^2 + f"yy(a,b)(y-b)^2 + 2f"xy(a,b)(x-a)(y-b)] + h，这里h为余项=f(a,b) + f'x(a,b)(x - a) + f'y(a,b)(y - b) + 1/2*[A(x-a)^2 + C(a,b)(y-b)^2 + 2B(x-a)(y-b)] + h

由于f'x(a,b)=f'y(a,b)=0，因此上式=f(a,b)+1/2*[A(x-a)^2 + C(a,b)(y-b)^2 + 2B(x-a)(y-b)] + h

在极小值点的邻域，其值都比它大，所以极小值点相当于在邻域内A(x-a)^2 + C(a,b)(y-b)^2 + 2B(x-a)(y-b) 恒大于0。把它看成是x-a的2次式，恒大于0，表明A>0,且判别式小于0。

背景：

人们常常说的函数y=f(x)，是因变量与一个自变量之间的关系，即因变量的值只依赖于一个自变量，称为一元函数。

但在许多实际问题中往往需要研究因变量与几个自变量之间的关系，即因变量的值依赖于几个自变量。

例如，某种商品的市场需求量不仅仅与其市场价格有关，而且与消费者的收入以及这种商品的其它代用品的价格等因素有关，即决定该商品需求量的因素不止一个而是多个。要全面研究这类问题，就需要引入多元函数的概念。

热心网友 时间：2023-12-05 17:07

用二元函数的泰勒展开式就很好理解及证明：

f(x,y) = f(a,b) + f'x(a,b)(x - a) + f'y(a,b)(y - b) + 1/2*[f"xx(a,b)(x-a)^2 + f"yy(a,b)(y-b)^2 + 2f"xy(a,b)(x-a)(y-b)] + h，这里h为余项=f(a,b) + f'x(a,b)(x - a) + f'y(a,b)(y - b) + 1/2*[A(x-a)^2 + C(a,b)(y-b)^2 + 2B(x-a)(y-b)] + h

由于f'x(a,b)=f'y(a,b)=0，因此上式=f(a,b)+1/2*[A(x-a)^2 + C(a,b)(y-b)^2 + 2B(x-a)(y-b)] + h

在极小值点的邻域，其值都比它大。所以极小值点相当于在邻域内A(x-a)^2 + C(a,b)(y-b)^2 + 2B(x-a)(y-b) 恒大于0。把它看成是x-a的2次式，恒大于0，表明A>0,且判别式小于0，即为(2B)^2-4AC<0，故有AC-B^2>0极大值点同理，只是需要A<0即可。

例如：

z=x^4+y^4-(x+y)^2

从而在直线上x+y=0上z=2x^4>0当(x,y)不等于(0,0)时成立

在直线x-y=0上z=-2x^2(2-x^2)<0当(x,y)不等于(0,0)且|x|<1时成立

又z(0,0)=0,综合可见函数在(0,0)点不取极值.

z=x^4+y^4-(x+y)^2是一个曲面。

x+y=0和x-y=0是两个垂直于xy平面的平面。

{z=2x^4，x+y=0。

{z=-2x^2(2-x^2)，x-y=0。

就是这两个平面与曲面的交线。

驻点(0,0)若是极值点的话，那么它的邻域内的所有点或者大于这个极值或者小于这个极值，而不会出现上面的一部分大于，一部分小于的情况。

扩展资料：

函数在其定义域的某些局部区域所达到的相对 最大值或相对最小值。当函数在其 定义域的某一点的值大于该点周围 任何点的值时，称函数在该点有极 大值；函数在其定义域的某一点的值小于该点周围任何点的值时， 称函数在该点有极小值。这里的极 大和极小只具有局部意义。因为函 数的一个极值只是它在某一点附近 的小范围内的极大值或极小值。

函数在其整个定义域内可能有许多极 大值或极小值，而且某个极大值不 一定大于某个极小值。函数的极值 通过其一阶和二阶导数来确定。对于一元可微函数f (x)，它在某点x0有极值的充分必要条件是f(x)在x0的某邻域上一阶可导，在x0处二阶可导，且f'(X0)=0，f"(x0)≠0，那么：

若f"（x0）<0，则f在x0取得极大值；

若f"（x0）>0，则f在x0取得极小值。

参考资料来源：百度百科-极值

热心网友 时间：2023-12-05 17:07

热心网友 时间：2023-12-05 17:08