线性代数

发布网友发布时间：2022-04-22 01:02

共2个回答

热心网友时间：2022-03-31 09:52

设A是4阶非零矩阵，k1，k2，k3，k4（是A的列向量）是非齐次线性方程组Ax=b的不同的解

第一个A 与第二个Ax=b中的A一样?

(1) 确认原题是这样?
(2) 没问题, 用线性无关的定义即可证明
由线性方程组解的性质知 α1-α2,α1-α3,α1-α4 是 Ax=0 的解.
设 k1(α1-α2)+k2(α1-α3)+k3(α1-α4) = 0
则 (k1+k2+k3)α1-k1α2-k2α3-k3α4=0
因为 α1,α2,α3,α4线性无关
所以 k1+k2+k3=k1=k2=k3=0
所以 α1-α2,α1-α3,α1-α4 线性无关
所以 α1-α2,α1-α3,α1-α4是齐次方程组Ax=0的三个线性无关的解

热心网友时间：2022-03-31 11:10

(1) 设a1 k1+a2 k2+a3 k3 = 0, 其中a1, a2, a3 不全为零。
由条件k1，k2，k3，k4是非齐次线性方程组Ax=b的不同的解，因此
(a1 + a2 + a3)b=A(a1 k1+a2 k2+a3 k3)=0,
a1= -(a2+a3)
从而
a2(k1 – k2) + a3( k1 - k2)=0
且a2, a3 必不全为零，否则a1为零，与设矛盾。

(2) 设a1 (k1-k2) + a2 (k1-k3) + a3 (k1-k4) = 0, 则
（a1 + a2 + a3）k1 – a1k2 – a2 k3 – a3 k4 = 0
由k1，k2，k3，k4线性无关，即得a1 =a2 =a3 = 0。