概率论中互斥事件一定独立吗
发布网友
发布时间：2022-05-20 20:19
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热心网友
时间：2023-11-22 13:10
不一定。
如;设事件A.B都是概率不为0的事件，且两个事件互斥，则p(AB)=0;
若事件A,B是独立的，则P(AB)=P(A)P(B),但已知事件A,B都是概率不为0的事件 ，所以P(A)P(B)不等于0，则P(AB)=P(A)P(B)是不成立的；
若事件为不可能事件，则可以既相互独立又能互斥。
可证，互斥的事件不一定独立。
扩展资料
1、互斥事件定义中事件A与事件B不可能同时发生是指若事件A发生，事件B就不发生或者事件B发生，事件A就不发生。如，粉笔盒里有3支红粉笔，2支绿粉笔，1支黄粉笔，现从中任取1支，记事件A为取得红粉笔，记事件B为取得绿粉笔，则A与B不能同时发生，即A与B是互斥事件。
2、对立事件的定义中的事件A与B不能同时发生，且事件A与B中“必有一个发生”是指事件A不发生，事件B就一定发生或者事件A发生，事件B就不发生。如，投掷一枚硬币，事件A为正面向上，事件B为反面向上，则事件A与事件B必有一个发生且只有一个发生。所以，事件A与B是对立事件，但1中的事件A与B就不是对立事件，因为事件A与B可能都不发生。事件A的对立事件通常记作A。
热心网友
时间：2023-11-22 13:10
对于任意的两个事件A、B，它们的组合事件不外乎以下4种：
①、AB——A、B都发生；
②、AB′——A发生，B不发生；
③、A′B——A不发生，B发生；
④、A′B′——A、B都不发生；
此外，我们还经常会讨论下面这种组合事件：
⑤、A＋B——A、B至少有一个发生；
显然：
⑤＝①＋②＋③；
下面，我们通过分析独立事件和互斥事件的上述概率，来看看它们之间的区别：
设：A、B独自发生的概率分别为：
P（A）＝a；
P（B）＝b；
那么，显然有：
P（A′）＝1－a；
P（B′）＝1－b；
而各组合事件的概率就是：
组合情况 A、B独立 A、B互斥
① a×b 0
② a×（1－b） a
③ （1－a）×b b
④ （1－a）×（1－b） 1－a－b
⑤ a＋b－（a×b） a＋b
以上结果是根据以下定理推出来的：
对任意事件A、B：
（1）P（AB）＋P（AB′）＋P（A′B）＋P（A′B′）＝1；
（2）P（A＋B）＝P（AB）＋P（AB′）＋P（A′B）；
（3）P（A＋B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）；
若A、B独立，则：
（1）P（AB）＝P（A）×P（B）；
（2）A与B′、A′与B、A′与B′，也分别相互独立；
若A、B互斥，则：
（1）各组合事件的概率，完全可以借助集合图形来理解和求解。
例如：
P（AB）＝P（A∩B）＝P（∅）＝0；
P（AB′）＝P（A－B）＝P（A－A∩B）＝P（A－∅）＝P（A）；
最后，再补充一点：
从①～⑤各组合事件的概率表中我们可以看出，独立事件和互斥事件确实如【轻剪无绪】所说，是完全不同的两类事件。只不过，在a、b分别为0和1时，两类事件的上述各种概率就变得相同了。但话又说回来，我们一般是不考虑不可能事件和必然事件的概率问题的。
热心网友
时间：2023-11-22 13:11
如;设事件A.B都是概率不为0的事件，且两个事件互斥，则p(AB)=0;
若事件A,B是独立的，则P(AB)=P(A)P(B),但已知事件A,B都是概率不为0的事件 ，所以P(A)P(B)不等于0，则P(AB)=P(A)P(B)是不成立的；
若事件为不可能事件，则可以既相互独立又能互斥。
可证，互斥的事件不一定独立。
