什么是“选择公理”？
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发布时间：2022-04-21 23:43
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时间：2023-06-22 13:14
「选择公理」有很多等价的形式（equivalent form），以下用一个较简单的描述：
选择公理 设C为一个由非空集合所组成的集合。那么，我们可以从每一个在C中的集合中，都选择一个元素来组成一个新的集合。
为令读者有进一步的了解，以下是一些例子：
1. 如果C为{1，2，3，…}的所有非空子集的集合，那么，我们可以定义一个新集合，使得它的元素为每一个在C中的集合的最小元素。
2a. 如果C为所有长度有限而非零的实数区间，那么，我们可以定义一个新集合，使得它的元素为每一个C中的区间的中间点。
看来也算是合理，但以上的例可能较数学化、较难理解，现在再用个较实在的例子，
3a. 如果在前面放了放置了几堆苹果。那么，我们可以在每堆中选取一个苹果，再把它们放在新的一堆内。
看了这个例子，可能令你更加明白，不过要留意的是所谓「几堆」，可能是无限堆，而每堆苹果也可能是有无限个的，那么，可以换成
3b. 如果在前面放了放置了无限堆苹果，而每堆苹果也有无限个。那么，我们可以在每堆中选取一个苹果，再把它们放在新的一堆内。
这个便是「选择公理」。看来也很合理，既然每一堆也是有苹果的，当然可以在每一堆中选择一个苹果出来，不论每堆的苹果数目的多少，和堆数的多少，「应该」也能做到。
但在这堆苹果中，究竟选择那一个呢？或许有人会说：「随便一个便可！」但甚么是「随便」呢？可否具体点陈述出来呢？这个「随便」的方法是否必然存在呢？如果数学化点看问题，根据「选择公理」，
2b. 如果C为所有长度非零的实数区间，那么，我们可以定义一个新集合，使得它的元素为每一个C中的区间中的点。
如果仔细的看2b，「每一个C中的区间中的点」，那一点呢？最大的那一点？最小的那一点？中间的那一点？通通也不存在，因为「长度非零的实数区间」是包括了长度无限的区间，那便可能没有了所谓「最大」、「最小」或「中间」等概念。那么，如何具体地陈述出方法呢？这个方法会不会不存在呢？
可能有人认为，即使是不能陈述出方法，也不能否定或放弃这公理，因为在数学上有很多「存在性定理」（Existence Theorems），都是只指出某事件的存在性，而不能具体描述寻求的方法，例如：中值定理（Mean Value Theorem）及洛尔定理（Rolle's Theorem），都是已证明是真确的存在性定理，所以只要能证明这公理是真确，便可以继续使用。
另外，不能具体陈述出方法，也有可能是括限於人类在语言上的障碍，也即是说，只是不能用人类的语言表达而已，正如最伟大的文学家，也只是用他们认为最适当的语句来表达，可能受到语言*，不能完全反映他们内心的思想，正所谓「不能言喻」。
但「选择公理」当然不是这般简单，它的不可思议，它的奇妙用法，以及它所导致的结果，到现在才是开始。
要证明选择公理，并非一件容易的事，其中一个原因是选择公理不单是一条简单的数学命题，而是牵涉较基层的数学──集合论。而集合论正就是数学的基础理论，所以在证明时，工具也会较少。
不少的数学家曾也尝试证明选择公理，他们希望用最基本的工具来作证明，但往往在这些证明中，都用了一些并不基本的理论，例如：「良序原理」（Well-ordering Principle）及「佐恩引理」（Zorn's Lemma），
良序原理 所有集合也是良序集。换句话说，对每一个集合来说，都存在一种排序方法，使得它的所有子集也有极小元素。
佐恩引理 若一偏序集是归纳序集，那么，它必然存在最大元素。换句话说，如果在一个偏序集的每一条鍊中都存在著上界，这偏序集必存在最大元素。
这些理论，即使只是从字面的解释，也不容易判断它的真确性，而事实上，「良序原理」及「佐恩引理」是不能用基本工具证明的。直至现时为此，也没有人能用基本工具来证明「选择公理」。
更有趣的结果是原来「选择公理」、「良序原理」及「佐恩引理」都是等价的命题，也就是说它们是在描述同一样的事件。多年以来，所发现的「选择公理」的等价命题实在不少，网主并没有统计过，某些的书籍可写出约30个等价命题，网主亦搜集了部分等价命题（英文版）可供网友参考，而人类只是在这些命题与命题间兜兜转转。
由此可知，要在数学上证明或否证「选择公理」并非易事，所以数学家便转移目标，从逻辑系统中看看它的相容性。而事实上，经证明所得，现在我们常用的ZF公理系统与「选择公理」是相容的，也就是说用ZF公理系统不能得出「选择公理」的逻辑矛盾。如果我们选择接纳「选择公理」，则便有一套包含「选择公理」的公理系统，一般称「ZFC公理系统」；否则，便不接纳它在公理系统之内，在能把它证明之前，也不能接受它是一「定理」。
不过，这个争论依然未完，因为对於这条公理不只是接纳和不接纳的问题，如果放弃这条公理，有很多美好且乎合「常理」的结果会同时被放弃；但它实际上又与很多「常理」大不协调。
其中一个为人熟识的不合乎常理的结果是「巴拿赫─塔斯基誖论」（Banach-Tarski Paradox），或称「分球问题」。这个誖论可以说是违反了物理学定律，因为这个誖论说可以把一个单位球体（半径为1）分成有限份，最少可分成五份，然後透过一些刚体运动，即旋转和平移，再重新组合，不过在组合後，竟然成为两个单位球体，也即是体积增加了一倍，而这个誖论的证明是必须利用到「选择公理」的。也就是说，如果我们选择接纳「选择公理」，则「巴拿赫─塔斯基誖论」便是一条定理，但现实中有这个可能吗？
这其实也是牵涉另一个数学概念──可测集合（Measurable Set）。「巴拿赫─塔斯基誖论」便是存在不可测集合的结果。如果我们接纳「选择公理」，则我们必须接纳不可测集合。若我们不接纳「选择公理」，则可设所有集合皆是「勒贝格可测的」（Lebesgue Measurable），而这个假设也可能是较合乎常理。
总括而言，「选择公理」是一条十分争议性的命题，一般的数学家都接受这条公理，因为可以从而得出很多有用的结果，反正使用这公理是没有逻辑矛盾的。但对於逻辑家或集合论家来说，这是一个必须解决的问题，有些人会建议用较弱的「可数选择公理」（Countable Choice）来代替，而确实有很多结果是可以利用可数选择公理来证明的，不过这样只是暂时回避问题，而且依然有些结果是必须用到「选择公理」的。
著名哲学家兼数学家罗素（Bertrand Russell）曾说过：「由无限对袜子中，每对选择一只出来的话，我们需要『选择公理』，但如果换转是鞋的话，那便不必了。」因为鞋是可以分左右的，袜子则两只没甚么分别，不知如何选择。另外，如果只得有限对袜子，在逻辑上是可以不用「选择公理」的。
邦拿（Jerry Bona）也曾说过：「『选择公理』明显是正确的；『良序原理』明显是不正确的；『佐思引理』又有谁可决定呢？」这个虽然是一个笑话，但从此可知道人的直觉并不一定跟从数学的思维。在数学上，这三个命题是等价的，但对於「选择公理」，很多数学家也直觉它是正确的；对於「良序原理」，很多数学家也认为存在问题；对於「佐思引理」则复杂得很多数学家也不能单凭直觉作判断。
「选择公理」确是一条谜样的公理，虽然看似十分显浅，但却有奇妙的功能，甚至有超乎常理的结果。有些人对它投以信任一票，有些人则抱怀疑态度。有关这条公理的讨论和研究，相信还会继续，那便看看数学家如何把它解决。最後，网主用罗素的一句话作结束，他在谈及「选择公理」时曾说：
「起先它似乎是明白的；但你愈多思考它，由这公理得出的推论就好像变得愈奇怪；最後你完全不明白它的意思到底是甚么了。」
