任意三角形都等腰吗?

发布网友发布时间：2022-05-17 16:10

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热心网友时间：2023-10-28 17:32

设ABC为任意三角形，作∠C的平分线和AB边的垂直平分线，设两线的交点为E。从E作AC和BC的垂线EF和EG，并且连结EA和EB。

现在，直角三角形CFE和CGE是全等的，因为每一直角三角形都以CE为共同的斜边，而且∠FCE＝∠GCE(由角平分线定义)，于是，CF＝CG。同时，直角三角形EFA和EGB是全等的，因为一个三角形的直角边EF等于另一个直角边EG(角C的平分线与该角的两边距离相等)，并且因为一个三角形的斜边EA等于另一三角形的斜边EB(线段AB的垂直平分线的任意一点E与线段的两个端点距离相等)，所以FA＝GB。

由上面两条得出：CF＋FA＝CG＋GB(等量加等量)，即CA＝CB。也就是说，这个三角形是等腰的。

这个结论肯定是错误的，因为很容易作出一个三条边长为3、4、5的三角形，它当然不是等腰三角形，而我们的结论却说这样一个三角形也一定是等腰的。那么，错误出在哪里呢?问题在于：E点的位置一般来说总是在△ABC的外面而不是在它的里面。可见，正确作图也可以帮助我们理解许多问题。