反演变换
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发布时间：2022-05-17 09:35
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时间：2023-10-17 17:09
只要两圆不同心, 这个反演变换一定存在, 具体刻画如下:
对于平面上两个半径不等且圆心不同的圆⊙A, ⊙B.
总存直线AB上的两点M, N, 使得分别存在以M, N为中心的位似变换, 将⊙A变为⊙B.
根据位似比的正负将二者区分为外位似中心M和内位似中心N.
(当相应的公切线存在时, 内, 外位似中心就是两圆内, 外公切线的交点).
由位似的性质可得:
当两圆不内含或内切时, 存在⊙M, 使得关于⊙M的反演交换将⊙A变为⊙B (同时⊙B变为⊙A);
当两圆不外离或外切时, 存在⊙N, 使得关于⊙N的反演交换将⊙A变为⊙B (同时⊙B变为⊙A).
于是根据两圆的位置关系, 可以得到一个或两个圆, 记为轨迹Γ.
结论是: 以轨迹Γ上任意一点O为圆心的反演变换将⊙A和⊙B映为等圆.
其中包括一个极限情形: 两圆相交时轨迹Γ也过两圆交点, 若取O为交点,
则⊙A, ⊙B都反演为直线, 即半径无穷大的"等圆".
如果不接受半径无穷大的概念, 可以从轨迹Γ中去掉交点.
以上结论我是用解析法计算得到的, 虽然计算比较简单, 但是感觉应该有更好的证法.
因此不在这里写证明了, 等想到好方法再说 (需要的话请追问).
这里就附一下图.
说明: 图中的绿色和蓝色大圆分别是⊙A, ⊙B;
紫色虚线圆是轨迹Γ, 也即⊙M, ⊙N;
红色圆⊙O1, ⊙O2是圆心分别在⊙M, ⊙N上的反演圆;
反演得到的圆都以与原来相同的颜色表明.
半径相等这一点至少看上去是对的 (需要怎样的明确表示也请追问).
a) 相交情形:
b) 外离情形:
c) 内含情形:
不论内切外切都只是⊙M与⊙N之一退化为1点的情形, 并没有太大区别.
所以暂时不附了, 需要还请追问.
