*频率域磁异常转换
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发布时间：2022-04-22 00:38
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时间：2023-09-09 03:19
把原观测平面的磁异常换算到某一高度（上下延拓），把实测的磁异常ΔT换算为Xa，Ya，Za三个分量，或求其水平方向和垂直方向的导数，把斜磁化情况下的磁异常化到地磁极等，这些磁异常转换的方法在解释中得到广泛的应用。对实测的磁异常进行转换处理在频率域实现最为方便、快捷。所谓频率域位场转换是把空间域实测的磁异常通过傅里叶变换得到频谱，再乘以换算因子，反复换算来实现。人们习惯把空间域的磁异常通过傅里叶变换来实现各种换算称为频率域或波数域换算。
在频率域进行磁异常的转换，其最大优点是空间域的褶积关系变为频率域的乘积关系；同时还可以把各种换算统一到一个通用表达式中，从而使磁异常的换算变得简单。另一个优点则是可以从频谱特性出发，形象地讨论各种换算的滤波作用。
下面着重讨论三度异常在频率域中的各种换算，实测磁异常为水平观测面。
（一）延拓
延拓是把原观测面的磁异常通过一定的数学方法换算到高于或低于原观测面的平面上，分为向上延拓与向下延拓。向上延拓是一种常用的处理方法，它的主要用途是削弱局部干扰异常，反映深部异常。我们知道，重磁场随距离的衰减速度与具剩余密度和磁性的地质体体积有关。体积大，重磁场衰减慢；体积小，重磁场衰减快。对于同样大小的地质体，重磁场随距离衰减的速度与地质体埋深有关。埋深大，重磁场衰减慢；埋深小，重磁场衰减快。因此小而浅的地质体重磁场比大而深的地质体重磁场随距离衰减要快得多。这样就可以通过向上延拓来压制局部异常的干扰，反映出深部大的地质体。图3-7-1是内蒙古某地用磁法勘探普查超基性岩的实例。该地区浅部盖有一层不厚的玄武岩，使磁场表现为强烈的跳动。为压制玄武岩的干扰，将磁场向上延拓了500m。由图可知，向上延拓的磁场压制了玄武岩的干扰，同时右侧部分反映了深部的超基性岩磁场。图3-7-2用向上延拓压制了浅部矿体的异常，突出了深部盲矿体产生的低缓异常。
通过向上延拓来研究深部磁性基底构造也是其应用的一个重要方面。如把一个地区航磁资料先化极与向上延拓，消除了浅部磁性体影响后再作磁场分区。
与向上延拓相反，向下延拓时随着延拓深度的加大，一些浅的局部干扰或误差也迅速增大，使延拓曲线发生剧烈跳动，甚至出现振荡而无法利用。为了克服这种影响，往往将圆滑和延拓配合使用，在向下延拓之前要对异常进行圆滑。
利用向下延拓可以分离水平叠加异常。我们知道，磁性体埋深越大，异常显得越宽缓。剖面越接近磁性体，磁异常的范围越接近磁性体边界。例如，对两个相邻的板状体而言，当它接近地表时，实测磁异常可能明显地显示两个峰值。但当埋深大于两个板体的距离时，则其叠加异常将显示为两个宽而平的异常。因此，将叠加的磁异常向下延拓到接近磁性体界面时就可能把各个磁性体的异常分离开来，增强分辨能力（见图3-7-3）。
图3-7-1 用向上延拓压制浅部玄武岩异常的影响
1—玄武岩；2—沉积岩
图3-7-2 用向上延拓压制浅部矿体的异常
利用向下延拓还可以评价低缓异常，低缓异常是指强度和梯度都比较小的异常，显然这是磁性体埋藏较深的标志。低缓异常的某些异常特征是不明显的，用它来进行解释推断有一定困难。解决这一困难的办法就是向下延拓。向下延拓一方面可以突出叠加在区域背景上的局部异常，使之尽量少受区域场的影响；另一方面可以“放大”某些在低缓异常中不够明显的异常特征（如拐点、极值点、零值点等），有利于进一步解释推断。
下面我们来推导频率域延拓公式。
1.向上延拓
设场源位于z＝H平面以下（H＞0），则磁场在z＝H平面以上是对x、y、z的连续函数，具有一阶和二阶连续可微的导数。若z＝0观测平面上的磁场T （x，y，0）为已知，可以得到向上延拓公式为
地球物理勘探概论
由褶积积分公式可知，上式为T（x，y，0）与
关于变量（x，y）的二维褶积。空间域的褶积与频率域的乘积相对应。下面分别求T（x，y，0）及
的傅里叶变换，设T（x，y，z）对于变量（x，y）的傅里叶变换为ST（u，v，z），有：
地球物理勘探概论
图3-7-3 向下延拓分离水平叠加异常
则
地球物理勘探概论
利用上式可以由已知的T（x，y，0）求出其频谱ST（u，v，0）。进一步求
的傅里叶变换，应用Erdelyi（1954）给出的积分变换表可以得到：
地球物理勘探概论
当z＜0时上式成立。由式（1-2-4）、式（1-2-5）并用褶积定理有：
地球物理勘探概论
上式对于z≤0成立。
T（x，y，z）是ST（u，v，z）的反傅里叶变换，即
地球物理勘探概论
式（3-7-6）即为向上延拓的频谱表达式。
2.向下延拓
我们还可把这一表达式进一步推广到0＜z＜H的情况。假如我们已知z＝h（0＜h＜H）平面上的场值，则根据向上延拓公式，可求出向上延拓距离为h的平面（即z＝0平面）上的场值：
地球物理勘探概论
根据上面同样的推导方法可以求得：
地球物理勘探概论
所以
地球物理勘探概论
上式对于0＜h＜H成立。这样就把表示式（3-7-1）扩展到场源以上的－∞＜z＜H。
式（3-7-6）表明，由z＝0平面上的磁场值，求出它的傅里叶变换ST（u，v，0），由它乘以延拓因子
，z＞0时向下延拓，z＜0时向上延拓），然后通过反傅里叶变换，即可求出z＜H空间磁场的表示式。
（二）导数换算
重磁异常的导数可以突出浅而小的地质体的异常特征而压制区域性深部地质因素的影响，在一定程度上可以划分不同深度和大小异常源产生的叠加异常，且导数的次数越高，这种分辨能力就越强（图2-8-8）。
重磁高阶导数可以将几个互相靠近、埋深相差不大的相邻地质因素引起的叠加异常划分开来，如图3-7-4所示。
图3-7-4 两个相邻球体异常的叠加
这些功能主要是因为导数阶次越高，则异常随中心埋深加大而衰减越快。从水平方向来看，基于同样道理，阶次越高的异常范围越小，因而无论从垂向看或从水平方向看，高阶导数异常的分辨能力提高了。
下面我们来推导重磁异常导数换算的公式。如果令Szx（x，y，z）、Szy（x，y，z）、Szz（x，y，z）及Szxx（x，y，z）、Szyy（x，y，z）、Szzz（x，y，z）分别为Za（x，y，z）对x、y、z的一阶导数及二阶导数的频谱，则由微分定理易于得到：
地球物理勘探概论
地球物理勘探概论
地球物理勘探概论
同理，可以写出：
地球物理勘探概论
由此可知，求磁场的n阶垂向导数的频谱，应乘上的导数因子为[2π（u2＋v2）1/2]n；而求磁场沿x方向或y方向的n阶水平导数的频谱，应乘上的导数因子为（2πiu）n或（2πiv）n。
如果求磁场的m阶垂向导数、n阶沿x方向水平导数、l阶沿y方向的导数的频谱（即求
的频谱），应乘上的导数因子为
地球物理勘探概论
进一步设l是实测平面上任一方向，它与x轴的夹角为α，则有：
地球物理勘探概论
两边作傅氏变换并应用微分定理，得知：
STl（u，v，z）＝i（2πucosα＋2πvsinα）ST（u，v，z）
利用上式即可实现磁场的频率域方向导数计算，以此突出某一方向的异常特征。
（三）ΔT换算Hax、Hay、Za各分量
由磁场与磁位的关系可以得到以下磁场各分量之间的关系式：
地球物理勘探概论
上列式中t0为地磁场方向的单位矢量。
设Sx（u，v，z）、Sy（u，v，z）、Sz（u，v，z）以及ST（u，v，z）分别为Hax（x，y，z）、Hay（x，y，z）、Za（x，y，z）及其ΔT（x，y，z）的频谱。
利用频谱微分定理可得到上列场各分量导数在频率域内相应的换算关系式：
地球物理勘探概论
式中
，而L0、M0、N0为地磁场单位矢量t0的方向余弦。
（四）化到地磁极
把ΔT化到地磁极的过程包含了ΔT化Za的分量换算和斜磁化Za化垂直磁化Za⊥的磁化方向换算。式（3-7-9）中的第三个式子已经实现了ΔT（x，y，z）与Za（x，y，z）频谱之间的换算，下面我们来进一步推导斜磁化Za化到垂直磁化Za⊥的公式。
磁化方向换算的方法是由斜磁化的磁场Za求垂直磁化方向的磁位U⊥，再由垂直磁化磁位U⊥求垂直磁化的磁场Za⊥。
（1）垂直磁方向的磁位U⊥：
地球物理勘探概论
Za1是原斜磁化方向的磁场。上式表明垂直磁化磁位U⊥是Za1沿着原磁化方向t1反方向的曲线积分。
由傅里叶变换可以写出Za1的频谱表达式：
地球物理勘探概论
则
地球物理勘探概论
（2）由垂直磁化磁位U⊥求垂直磁化磁场Za⊥：
地球物理勘探概论
由（3-7-9）式可以看出，由斜磁化Za化为垂直磁化的转换因子是：
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q1是原磁化方向的方向余弦。
因此，由ΔT化到地磁极的转换因子为
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若不考虑剩磁，即地磁场方向的方向余弦q0与磁化方向的方向余弦一致，则上式可进一步化简为
地球物理勘探概论
由于这种转换相当于把ΔT换算到地磁极的地磁场状态，故称为化到地磁极。
（五）几种换算的滤波作用
1.磁异常的转换与电滤波的相似性
我们知道，对无线电技术中的滤波来讲，滤波器的输入和输出可以是随时间变化的电压，线性滤波器的输入εi（t）和输出ε0（t）的关系可用一个褶积型的积分方程式表示：
地球物理勘探概论
函数φ（τ）称为权函数，反映了滤波器的特性，也称滤波器的脉冲响应函数。对褶积积分方程进行傅里叶变换就可得到频率域内输入-输出方程：
地球物理勘探概论
式中：E0（ω）、Ei（ω）和Φ（ω）分别为ε0（t）、εi（t）和Φ（t）的傅里叶变换；ω＝2πf称为角频率；Φ（ω）为滤波权函数的频谱，也称为滤波器的频率响应函数。
对于磁异常转换，若设转换前后的二度磁异常分别为Z（x）及Zb（x），则可对空间磁异常的转换写出其一般形式：
地球物理勘探概论
这也是一个褶积方程，φ（x）为参加磁异常换算的函数。
如向上延拓，可表示为
地球物理勘探概论
同样，也可写出频率域内磁异常转换的关系式：
地球物理勘探概论
式中：Sb（ω）、S（ω）、Φ（ω）分别为Zb（x）、Z（x）及φ（x）的频谱。
若将磁异常变换在空间域、频率域的表达式与滤波器在时间域、频率域的输入-输出方程式做一对比，可以发现二者是相似的。转换前后的异常对应于输入、输出电压，转换时参加运算的函数φ（x）则对应于滤波器的权函数，这里所不同的仅仅是电压是时间的函数，而磁异常是空间坐标的函数。因此，我们可以把磁异常的转换看成是对异常的滤波，有关滤波的一些基本理论都能用于磁异常的转换。
2.几个常用换算的滤波作用
磁异常的换算相当于一种滤波，滤波器的权函数就反映了换算的特性。在频率域中通过研究权函数的频谱（即频率响应函数）来了解磁场换算的滤波作用，下面以二度异常的几种换算的频率响应为例来说明。
图3-7-5画出了向上延拓、向下延拓、垂向一次导数、垂向二次导数的频率响应函数Φ（ω）随角频率ω变化的图形。
图3-7-5 二度异常几种换算的频率响应曲线
由图可见，向上延拓的频率响应：Φ上延（ω）＝e－h｜ω｜。
当ω＝0时，Φ（ω）＝0；当ω趋于无穷时，
趋于零。它起到了压制高频让低频通过的作用，相当于一个低通滤波器。
向下延拓、垂向一次导数、垂向二次导数的频率响应分别为eh｜ω｜、ω、ω2，由图形及分析频率响应的表达式容易知道三者都相当于一个高频放大器。比较二者，可以发现向下延拓的频率响应随ω增大，呈指数规律增加。当ω趋于无穷，Φ趋于无穷，它对高频放大作用特别明显，且是不收敛的，故在计算时要特别注意。在运算时常常加一个圆滑因子，以对高频放大作用进行一些抑制。其次，垂向二次导数的频率响应比垂向一次导数在高频放大作用上更强一些，因为它们随ω增大的规律与导数方次有关。导数次数愈高，愈要注意设法压制高频干扰。
