正演基本理论

发布网友 发布时间：2022-04-22 00:38

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热心网友 时间：2023-09-08 16:25

已知地电模型和场源分布，求解位场的分布规律，称为电法勘探的正演问题，它是电法反演问题的计算和观测资料解释的重要基础。在正演模拟问题中，地下电阻率分配被限定，其任务是计算地质体上方测线观测获得的视电阻率。正演实际上是反演的一部分，因为通过反演套路计算出的模型理论视电阻率值与实际观测值比较是否一致非常有必要，求解一个特定模型的视电阻率值方法主要有5种:(1)解析法；(2)有限差分法，(3)有限元法；(4)边界元法；(5)面积分法。解析法可能是最精确的方法，取得的结果具有典型意义，但是，解析法受多种条件*，仅局限于相对简单的几何体电场分布问题才可以求解，如球体或圆柱体；边界元法比较灵活，但是不同电阻率值的区域数受到*，一般少于10；近地表勘探时，地下可能存在任意分布的电阻率，因此，对于求解复杂条件下的电场分布规律，有限差分法和有限元法通常是可靠的选择方法，这些方法能将地下细分成数以万计的不同电阻率单元。当然，解析法和边界元法是非常有用的，可以单独用来检查有限差分法和有限元法的精度。

2.1.1 稳定电流场的边值问题

电阻率法的正演计算问题，均归结为求解稳定电流场的下述边值问题。

2.1.1.1 点源场中三维地电体的边值问题

在这种情况下，地下介质的电导率和电场均为三维空间的函数，即σ＝σ（x，y，z）和U＝U（x，y，z）。

（1）位函数U（x，y，z）所满足的微分方程

设在电导率为σ（x，y，z）的无限岩石中，位于A（x_A，y_A，z_A）点处有一电流为Ⅰ的点电流源。由场论可知，在有源域内，可定义为

高密度电法勘探方法与技术

利用狄拉克δ函数的性质，则得

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由j＝σE和E＝-▽U得稳定电流场位函数U所满足的微分方程为

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当点电源A（x_A，y_A，z_A）位于地表时，则上式应写成

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对于地下岩石分区均匀情况，式（2.5）可写成

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式（2.5）和式（2.6）分别为待求解的三维非均匀和分区均匀岩石中位函数U（x，y，z）所满足的微分方程。

（2）位函数U（x，y，z）所满足的边值和衔接条件

1）边值条件。由于电法所研究的稳定电流场分布于整个地下半空间，为了减少计算工作量，在求解边值问题时，通常把计算范围定在一个有限的区域内。这样，便需要在求解区域的边界Γ上，对电位函数U（x，y，z）赋予已知值。可见，为了求解位场问题，还必须知道所研究区域的边界上的位场分布状况，即边值条件。一般有三种类型的边值条件:

a. 第一类边值条件

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式中:Г表示所研究区域Ω的边界；g（x，y，z）是定义在Γ上的已知函数。

b.第二类边界条件

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式中:n是Γ的外法线。

c.第三类边值条件

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式中:A为已知正数。

2）衔接条件。在所研究的区域Ω内，两种具有电导率为σ1和σ2的岩石交界面处，电位和电流密度法向分量满足以下衔接条件:

a. 由于电位的连续性，在交界面处有

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b. 由于电流密度法向量的连续性，在交界面处有

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式中:n为交界面的法线方向。

2.1.1.2 线场源中地电断面的边值问题

在此情况下，岩石的电导率和电场沿岩体走向（y方向）均无变化，只是坐标（x，z）的函数，σ＝σ（x，z）和U＝U（x，z）。此时，电位U（x，z）满足二维偏微分方程

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式中:f＝-21σ（x-x_A，z-z_A）；Ⅰ为位于A（x_A，y_A）的线电流单位长度上的电流强度。

该问题中，边界上的位函数U（x，z）和已知函数g（x，z）同样满足式（2.7）～式（2.11）所示的边值和衔接条件。

2.1.1.3 点源场中二维地电断面的边值问题

在这种情况下，介质的电导率沿走向（y方向）无变化，仅是坐标（x，z）的函数，即σ＝σ（x，z），电场为三维空间的函数U（x，y，z）应满足方程

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式中: 1= -2Iδ(Y-Y_A' Y - Y_A' Z-Z_A) 。

对式（2.13）两端作傅里叶变换，得

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式中: f₁, = -1σ (x -x_A， z -Z_A) ; σ=σ( X， z);V=( X， λ ， z) λ 方空A波A。

这样，将三维的偏微分方程（2.13）变成了二维偏微分方程（2.14），即将（x，y，z）三维空间中的电位U（x，y，z）变换为（x，z）二维空间中的变换电位V（x，λ，z）。当分别对若干个给定的λ值求解方程（2.14），获得V（x，λ，z）后便可按下式作傅里叶逆变换，得到待求电位:

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2.1.1.4 特殊条件下的边值问题

（1）无源域的边值问题

对于无源域，即在所求解的地电断面内无电源（点源或线源），方程（2.6），（2.12）和（2.14）中的位函数U（x，y，z），U（x，z）和V（x，λ，z）分别满足拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程:

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（2）分布均匀介质的边值问题

1）有源情况。由于所求解域内介质的电导率σ为常量，故有 ，所以式（2.6），式（2.12），式（2.14）可以分别写成

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式中: 1= -2Ipδ(M-A); λ= -Ipδ(M -A) 。

2）无源情况。由于所求解域内介质的电导率σ为常量，且无电源，故式（2.16），式（2.17），式（2.18）可简写成

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综上所述，计算传导类电法勘探的正演问题，或求解稳定电流场的边值问题，就是要根据情况确定未知的电位函数U（或其变换函数），使其在已知电导率σ分布的求解区域内满足相应的微分方程和边值条件。

2.1.2 解析法

在简单地电条件下求解位场分布时，常用解析法中的分离变量法和类比法。

（1）分离变量法

分离变量法是求解电磁场边值问题常用的解析方法，该法的具体内容是假定待求的位函数由2个或3个仅含1个坐标变量的函数乘积所组成，然后将该乘积关系代入所求解的偏微分方程，经过整理，通过分离常数的联系，原来的偏微分方程可转化为几个常微分方程，其数目等于独立坐标变量数。解这些常微分方程并以给定的边值（包括边界上的衔接条件）决定其中的待定常数和函数后，即可求得待定的位函数。

（2）类比法

在边值问题的分析计算中，根据位场解答的唯一性定理，各种物理场，不论其对应物理量的意义是否相同，只要它们具有相似的微分方程和边值，则所得的解在形式上必完全相似，因而就把某一位场的分析计算结果，推广到一切相似的位场中去。

另外，在特定条件下，求解电法勘探的边值问题常用的解析方法还有镜像法和保角变换法等。

2.1.3 数值计算方法

解析法只能求解少数规则形体的边值问题，对于复杂条件下电场分布，常需借助数值计算方法。目前，用于电法勘探的数值计算方法有:有限差分法、有限单元法、面积积分法和边界单元法等，下面将对这些数值计算方法的原理进行简要的介绍。

2.1.3.1 有限差分法

有限差分法是以差分原理为基础的一种数值计算方法，它用各离散点上函数的差商来近似替代该点的偏导数，把要解的边值问题转化为一组相应的差分方程，然后，解出差分方程组（线性代数方程组）在各离散点上的函数值，便得到边值问题的数值解。现以二维等步长差分格式为例，说明有限差分法的原理和方法步骤。

（1）区域离散和网格剖分

如图2.1所示，用平行于坐标轴的两组直线族将地下划分成正方形网格，相邻两坐标线的距离为h，则任一节点的（x，z）坐标为

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图2.1 二维等步长正方形网格

每个正方形为一单元，其边长为h，称为步长，网格的交点称为节点。任一节点的坐标（x，z）可表示为（ih，kh），或简化为（i，k），用阶梯状折线代替原来的曲线段。在边界线以内的节点称为内节点，边界上的节点称为边界节点。

（2）微分方程离散化和构组差分方程某一内节点（i，k）处的电位为U（i，k），由于h很小，可将节点（i，k）四周的电位在节点处展成泰勒级数:

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式中:U_x，U_xx…和U_z，U_zz…分别表示U对x和z的一阶导数、二阶导数等。

将前两个式子相加，并且忽略h的四次项和更高次项，经整理可得

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同理可得

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将上述U_xx和U_zz代入含源分区均匀岩石中位函数U所满足的微分方程（2.19）的第二式，即得二维函数U（x，z）的差分方程

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对于无源分区的均匀介质，位函数U（x，z）所满足的微分方程（2.20）的差分方程为

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（3）线性方程组的形成与求解

对于边界节点，其相应的差分方程可根据边界条件给出。全部节点所建立差分方程（2.26）和（2.27）的总和可分别写成以下矩阵形式:

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和

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式中:［A］是方程组的系数矩阵，它是与电阻率分布有关的函数；｛U｝ 是电位U的列向量，其分量为所有节点上的电位；｛F｝ 是常向量。

当给定电阻率分布及边界条件后，解线性方程（2.28）和（2.29）便可求得电位的空间分布。

电位 ｛U｝ 值的计算精度与步长h的大小有很大关系。一般来说，网格划分越细，即h值越小，｛U｝ 值与理论值就越接近。但是，此时节点数目也急剧增加，因而，所需的计算机内存和计算时间也就会增大。解决计算机速度与精度这一矛盾的较好方法是采用变步长，即在近区将网格划分得密些，远区影响较小可划分得稀些。

图2.2为一个采用不同装置的2-D高密度电法勘探视电阻率拟断面有限差分正演模拟例子，其中图2.2a为地质模型，图2.2b为温纳（Wenner）装置获得的视电阻率拟断面，图2.2c为单极-单极（pole-pole）装置获得的视电阻率拟断面，图2.2d为偶极-偶极（dipole-dipole）装置获得的视电阻率拟断面。

图2.3为一3-D高密度电法勘探视电阻率拟断面有限差分正演模拟例子，其中图2.3a为5×15布设的电极测网（即225根电极）和3-D地质模型，在电阻率为50Ω·m的模型介质中嵌入了4个四方形棱柱，图为穿过地质体的水平切片。图2.3b为单极-单极（pole-pole）装置的视电阻率值水平方向的切片，注意，在网格中心，从1.0～3.2 m深处有一电阻率为10Ω·m的低阻体，该低阻异常体是由于极距小于4 m造成的；但是，对于电极距大于6m，低阻棱柱成了高阻异常，这是一个由于C1和P1电极间，在近地表区域为负灵敏度出现了 “异常翻转” 的现象。

2.1.3.2 有限单元法

有限单元法是以变分原理和剖分插值为基础的数值计算方法。用这种方法解稳定电流场问题时，首先利用变分原理把所要求解的边值问题转化为相应的变分问题，也就是所谓泛函的极值问题。然后，与有限差分法相似，使连续的求解区域离散化，即按一定的规则将求解区域剖分为一些在节点处相互连接的网格单元，进而在各单元上近似地将变分方程离散化，导出以各节点电位值为未知量的高阶线性方程组，最后求解此方程组，算出各节点的电位值，以表征稳定电流场的空间分布。

（1）稳定电流场的变分问题

由前面讨论可知，稳定电流场的计算可归结为求解电位所满足的偏微分方程边值问题式（2.5）至式（2.20）。为了用有限单元法求上述边值问题的数值解，首先将其转化为相应的变分问题，即构造相应的泛函表达式。

1）点源三维情况。根据前述稳定电流场的边值问题，点源三维稳定电流场的计算，可归结为求解下列的边值问题:

图2.2 一个采用不同装置的2-D高密度电法勘探视电阻率拟断面有限差分正演模拟例子

图2.3 一个3-D高密度电法勘探正演模拟例子（测网为15×15）

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式中:Γ₂为求解区Ω的地面边界；Γ₁为求解区Ω的其余边界。

与式（2.30）问题等价的变分问题为

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顺便指出，边值问题式（2.30）中的边值条件 在变分问题式（2.31）中没有出现，因为根据变分原理，这一边值条件将自然得到满足。

2）线源二维情况。与点源三维情况相似，二维地电条件下，稳定电流场的边值问题为

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与其等价的变分问题为

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式中:S为二维（平面上）的求解区；Г＝Г₁＋Г₂构成求解区S的全部边界线。

与三维情况相似，应用变分，可以证明式（2.32）与式（2.33）的等价性；并且，同样可以看到，式（2.32）中的边值条件 在变分问题式（2.33）中也是自然被满足。

3）点源二维情况。对于点源二维地电条件，所求解的稳定电流场的边值问题为

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式中

与二维偏微分方程边值问题式（2.14）等价的变分问题为

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求出变换电位V（x，y，z）之后，便可按下式作傅里叶逆变换计算电位:

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（2）区域离散和网格剖分

有限单元法与有限差分法类似，需将连续求解离散化和作网格剖分。在二维情况下，最常用的方法是将求解区剖分为一系列互不重叠的三角形单元，每个单元的顶点称为节点。如图2.4所示，剖分求解区域的规则是:单元的节点只能与相邻单元的节点相重，而不能成为相邻单元的边内点；每个单元内介质的电导率为常数，在不同电导率介质的分界面（内边界）上或求解区的（外）边界上，使三角形单元的一个边互相衔接，以这样形成的折线*近边界线；三角形单元的三条边长（或三个顶角）之间差异不要过大；在电场变化剧烈、电位参数的二阶或高阶导数值大的地方，应使单元剖分得细一些，而在电场变化平缓的地方，可剖分得稀些。

（3）线性插值

为了计算二维变分问题式（2.33）中积分形式的泛函J（U），需要知道求解域内的U函数值，通常是利用各节点函数值在各单元内作线性内插，按单元逐个计算U值。

如图2.5所示，设第e个单元的3个节点按逆时针方向编号分别为i，j，m，其坐标分别记为（x_i，z_i），（x_j，z_j），（x_m，z_m），对应的节点函数值为U_i，U_j，U_m。假设各单元内，函数U（x，z）是线性变化的，即

图2.4 有限元网格剖分示例

图2.5 三角形单元

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式中:系数a，b，c可由单元上3个节点的函数值和坐标算出。对于单元e，3个节点上的U都应满足式（2.37），故有

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按克莱姆法则求解上述方程组，得

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将式（2.39）代入式（2.37），便得到单元e内函数U的线性插值表示式:

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式中:

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如果在每个单元上都按此给出U（x，z）的近似表达式，便可得到整个求解区内U（x，z）的总体近似函数，这个函数在各个单元内是线性的，即它是一个分片线性函数。对于任意两个相邻单元来说，近似函数在公共边上的值被两个端点的节点函数值唯一确定，所以，总体近似函数在整个求解区自然是连续的。

（4）变分问题的离散化

二维变分问题式（2.33）中的泛函——整个求解区上的积分J（U），可以分解为各个单元上的积分Je（U）之和:

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式中:J_e（U）不难根据各单元e内函数U的线性插值近似式（2.40）算出。

1）单元分析。根据式（2.33），并考虑到单元内σ为常量，则可将单元e上的泛函写成:

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式中:σ_e为单元e内的电导率值；Ⅰ_A为电流源强度。

由式（2.40）可得

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因而式（2.42）可用矩阵表示为

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式中:

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由式（2.44）可见，［Ke］为单元系数矩阵，它是一个对称矩阵，其元素的一般表达式为

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2）总体合成。按式（2.41）对所有单元的Je（U）相加，并将式（2.44）代入，便可得到整个求解区的泛函J（U）关于节点电位的离散表达式:

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这样，泛函J（U）就完全离散化为多元二次函数:

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所以，将变分问题式（2.33）化为二次函数的极值问题，即

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根据函数极值理论，应有

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则由式（2.48），即得

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或表示为矩阵形式

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式中: ，其元素为所有单元矩阵［K^e］的相应元素之和；列向量 ，其元素也为所有单元场源列矢量 ｛I^e｝ 的相应元素之和；｛U｝＝｛U₁，U₂，…，U_N｝^T。

式（2.52）经边界条件处理，应修改为

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方程组的系数（即刚度矩阵［K'］的元素）决定于节点坐标及电导率的分布，是已知的；右端项也是给定的，于是求方程组（2.53），便可获得待求电位值。

图2.6为一2-D高密度电法勘探视电阻率拟断面限单元法正演模拟例子，采用温纳（Wenner）β装置，图2.6a为视电阻率拟断面，图2.6b为地质模型。

2.1.3.3 边界单元法

边界单元法是以边值问题控制微分方程的基本解为基础，首先建立边界积分方程，然后，在区域的边界上划分单元，进行数值求解。

（1）以加权剩余格式建立边界积分方程

加权剩余法已成为求解数学物理方程的普遍方法，为了一般化，现以加权剩余格式，由控制方程及边值条件出发，建立边界积分方程。使用以下记号

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上两式分别表示函数u和v的乘积在域Ω和边界г的积分，称（u，v）Ω和（u，v）г为u和v的内积。

对于自伴随线性微分算子，通过分部积分，总可以得到如下形式的内积公式:

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图2.6 一有限单元法高密度电法勘探正演模拟例子

式中:S为基本边界条件算子，G为自然边界条件算子。该算子相应的微分方程边值问题可列为

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式中:g，s是对应于相应边界算子的给定函数；Г₁，Г₂则代表给定s或g的边界。

当用加权余量法求解时，对微分方程及对应边界条件，选取近似解u代替精确解u₀，从而得到余量（或误差）函数:

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适当选取权函数w，利用加权，使余量接近于零，从而总体意义上满足域内及边界要求，即设

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如果在域Ω及其各边界段分别设权函数w为

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利用式（2.56）和式（2.64），可将式（2.63）写成

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该式更紧凑的形式为

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在边界元法中，采用算子的基本解作为权函数w^*，即采用满足如下方程的奇异函数:

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式中:δ_i是狄克函数，它在所考虑的“i” 点邻域上的积分等于1，而在其他地方的积分为零，且有

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将式（2.67），（2.68）代入方程（2.66）中，即得

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式中:c_i是与Ω的边界所确定的张角成正比的系数。

若记B_i＝〈f，w^*〉，则式（2.69）可写成

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式（2.70）即为待求的边界积分方程。

1）点源场三维地电体位场问题。假设电阻率分别为ρ₁和ρ₂的围岩介质和三维地电体分布在域Ω₁和Ω₂内，其中位函数分别表示为U₀（x，y，z）和V₀（x，y，z）。具有电流为Ⅰ的点电源位于光滑地表A处。位函数精确解U₀（x，y，z）和V₀（x，y，z）满足边值问题:

控制微分方程:

自然边界条件:

本质边界条件:

当用位函数的近似解u和v分别替代式（2.71）至式（2.74）和相应的衔接条件式（2.10），式（2.11）中的精确解U₀和V₀，并取权函数w^*＝u^*，S（w^*）＝u^*，G（w^*）＝ 时，代入方程（2.70）后，可得该边值问题的边界积分方程:

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式中:u^*＝1/4πr为拉普拉斯方程的基本解； 。

2）点源场二维地电体的位场问题。假设具有电流为I的点电流源A位于光滑地表，分布在域Ω₁和Ω₂的围岩介质和二维地电体的电阻率分别为ρ₁和ρ₂，其内的电位函数分布为U₀（x，y，z）和V₀（x，y，z），如图2.7所示。三维位函数U₀和V₀满足如下的边值问题:

控制微分方程:

自然边界条件:

本质边界条件:

式中: 分别为Г₁和Г₂边界上的已知函数。

图2.7 点源场二维地电断面

对上述各式进行余弦傅里叶变换，可将三维的位函数U₀（x，y，z）和V₀（x，y，z）转变为二维的位函数u₀（x，y，z）和v₀（x，y，z），并满足边值问题:

控制微分方程:

自然边界条件:

本质边界条件:

式中:λ为傅里叶变换量（或波数）。

当用位函数的近似解u和v分别代替式（2.81）～式（2.84）和衔接条件式（2.10），（2.11）中的精确解u₀和v₀，并取与点源场三维地电体位场问题中相同形式的权数w_*，S（w_*），G（w_*）时，代入方程（2.70）后，可得该边值问题的边界积分方程:

式中 是亥姆霍茨方程和基本解。

3）均匀场二维地电体位场问题。给定的地电断面如图2.8所示，地下围岩介质的电阻率ρ₁，矿体的电阻率ρ₂，并分别属于域Ω₁和Ω₂，其电位精确解分别用u₀和v₀表示。根据式（2.20），位函数u₀（x，z）和v₀（x，z）应满足如下边值问题:

控制微分方程:

自然边界条件:

本质边界条件:

式中: 分别为Г₁和Г₂上的已知边值函数。

当用位函数的近似解u和v分别替代式（2.87）～式（2.90）中的精确解u₀和v₀，并取相应的权函数，代入方程（2.70）后，可得该边值问题的积分表达式:

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式中: 是二维拉普拉斯方程的基本解。

图2.8 均匀、稳定电流场二维地电断面

（2）确定离散方程与基本方程

为了利用边界积分方程（2.70）计算待求电位u_i值，需要将其离散化为线性代数方程组。为此，将边界Г划分成许多小单元，称之为边界元。假设在各单元上，取u和q值为常数，且用中结点值表示，则称常数元（图2.9a）；若u和q值在单元上呈线性变化，则称线性元（图2.9b）；如用二次曲线来*近边界，则称为二次元（图2.9c）。下面以线性元解法为例来说明离散方程与基本方程的确定方法。

图2.9 边界元类型

因为线性元的u和q在单元上呈线性变化，故在两个直线元的交点（端结点）上赋已知值（图2.10）。假定在Г₁的端结点上，q是已知的，在Γ2的端结点上u是已知的，根据积分的可加性，对于结点“i”，可将式（2.70）中的积分化为每个单元Г_j的积分和，即得离散方程:

图2.10 线性元

高密度电法勘探方法与技术

对于平面域的边界线元Г_j，因为u和q在单元上是线性变化的，所以u和q在单元上任一点的值，可借助与端结点的值和两个线性插值基函数来确定:

高密度电法勘探方法与技术

式中:ξ是无量纲坐标， 。

将式（2.94）和（2.95）式代入（2.93）后，其中的单元积分可写成:

高密度电法勘探方法与技术

式中:

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要写出对应于节点“i”的离散方程形式，需要把两个相邻单元Гj和Гj-1的贡献加起来，合成一项，以决定j节点上u_j和q_j的系数:

高密度电法勘探方法与技术

于是，式（2.93）对应于“i” 的装配方程，可写成:

高密度电法勘探方法与技术

对于空间域Ω的边界面元Г_j，假定三角形单元Г_j的3个顶点坐标为（x₁，y₁，z₁），（x₂，y₂，z₂）和（x₃，y₃，z₃），则三角形内任一点的坐标（x，y，z）为

高密度电法勘探方法与技术

由于假定u和q值在每个单元呈线性变化，所以，可借助与三角形端结点的值和线性插值基函数，确定该单元内任一点的u和q:

高密度电法勘探方法与技术

式中:φ_k＝ξ_k。于是，方程（2.93）中的单元积分，可写成

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式中:

利用式（2.103），式（2.104），对应于节点i，式（2.93）可写成:

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对于方程（2.99）和方程（2.105），若记 ，则上述方程可分别写成如下更紧凑的形式:

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同常数元解法一样，若把全部“i” 点合起来，方程（2.106）和方程（2.107）分别构成N阶和M阶线性代数方程组，可表示为矩阵方程

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对于线积分h_ij和g_ij运用四点或七点高斯求积，用高斯消元法求解线性方程组（2.108），便得待求的二维电位。对于点源二维问题，尚须使二维电位U（x，λ，z）通过傅里叶逆变换，以获得要求的三维电位值U（x，y，z）。最后，根据所采用的电阻率法装置类型和大小，按公式ρs＝K△U_P1P2/I计算视电阻率异常值。

2.1.3.4 面积分法

图2.11 用面积分法求解位场示意图

面积分法是从积累电荷的概念出发，通过求解积分方程，以确定电场空间分布的一种数值计算方法。如图2.11所示，在电阻率为ρ₁的半无限介质中，埋有电阻率为ρ₂的三维地质体，由场论中静电场与稳定电流场的类比关系可知，求解稳定电流场，可利用电阻率分界面上积累电荷的面分布。为此，设地下某一点的电位U（M）为

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式中:U₀（M）为供电电极A在M点产生的正常电位。即

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U_a（M）为地质体表面的积累电荷对M点产生的异常电位:

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式中:σ（Q）为地下矿体表面S上任一点Q的积累电荷面密度。

为镜像矿体表面 积累电荷对M点产生的异常电位，有

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因而，地下任一点M的电位表达式（2.109）可写为

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可见，根据边界条件求出积累电荷的面分布，便可有上式计算出电位值。