设A是线性空间V的线性变换. 试证：秩A^2=秩A⇔A的值域与核的交为零空间
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发布时间：2022-05-21 13:09
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时间：2023-10-25 12:26
1. rank(A^2)=rank(A)
2. Im(A)与Ker(A)的交为{0}
要证明1和2等价，比较基本的想法是看相对具体一点的条件1还能和哪些条件等价，这样会发现
3. Ax=0和A^2x=0同解
1<=>3<=>2会比原来简单很多
当然，你也可以从2出发，发现
4. Im(A)+Ker(A)是全空间的直和分解
如果再看到1等价于
5. A相似于diag{B,0}，其中B可逆
这样也是比较容易的
如果你只是在2=>1的技术上有困难，那么考虑一下反证法，从rank(A^2)<rank(A)出发推矛盾会比较方便
