斯坦纳—雷米欧斯定理的证明方法
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发布时间：2022-05-21 18:23
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时间：2023-11-05 16:15
证明1
如图，则在△EBC与△DBC中：sin(2β+γ)/ sin2β= BC/CE = BC/BD = sin(β+2γ)/ sin2γ,
∴2sinβcosβsin(β+2γ) - 2sinγcosγsin(2β+γ) =0
→sinβ sin2(β+γ)+sin 2γ】- sinγ【 sin2（β+γ）+ sin2β】=0（积化和差）
→sin2(β+γ)【sinβ-sinγ】+2 sinβsinγ【cosγ- cosβ】=0（重新分组并提取公因式）
→sin [(β-γ)/2]【sin2(β+γ) cos[(β+γ)/2] + 2 sinβsinγsin [(β+γ)/2]=0（和差化积）
又显然上式的后一个因式的值大于零，∴sin[(β-γ)/2]=0， ∴β=γ,∴AB=AC. 证毕！
证明2
设三角形ABC,∠B=2a,∠C=2b,角平分线BD=CE
分别以BD,CE为底边,以a+b为底角向上做两个等腰三角形BDF,CEG
连接AF,AG
则ADBF四点共圆,AGCE四点也共圆
因∠1+∠2=∠1+∠3=∠1+b+a=180度
所以FAG共线
∠4+∠BCG=∠4+(b+b+a)=∠5+(b+b)+a=180度
所以BCGF四点共圆
因△FBD≌△GEC
所以BF=CG,结合共圆条件得FG//BC,等腰梯形,∠FBC=∠GCB
b+a+a=b+b+a
整理得∠B=∠C
证明3
如图，将△AEC绕点O（点O为BI和CI的中垂线的交点）逆时针旋转，使CE与BD重合，A的对应点为A'。
设BD与CE交于I，则I为△ABC的内心，AI平分∠BAC，则旋转后AI的对应线为A'I'。连接AA'，A'B。
∵∠DA'B=∠BAC（旋转对应角）
∴A、A'、B、D四点共圆
∴∠AA'D=∠ABD
∵∠AID=∠ABD+∠BAI（外角定理）
∴∠AID=∠AA'D+∠I'A'D=∠AA'I'
∴A、A'、I'、I四点共圆
∵AI=A'I'
∴四边形AA'I'I是等腰梯形
∴AA'∥II'
即AA'∥BD
∵A、A'、B、D四点共圆
∴四边形AA'BD是等腰梯形
∴AB=A'D=A'C'
∵A'C'=AC
∴AB=AC
定理证毕
