求证:角分线长相等的三角形是等腰三角形

发布网友发布时间：2022-05-21 18:23

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热心网友时间：2023-11-05 16:16

在△ABD与△AEC中

因为 ∠A=∠A AB=AC EC=BD

所以 △ABD全等△AEC中（SSA）

所以 ∠ABD=∠ACE

因为 BD是∠ABC角平分线 EC是∠ACB角平分线

即∠EBC=∠DCB

所以角分线长相等的三角形是等腰三角形

热心网友时间：2023-11-05 16:16

1840年，雷米欧斯（C.L.Lehmus）在给斯图姆（C.Sturm）的信中请求他给出如下命题的一个纯几何证明：两条内角平分线相等的三角形是等腰三角形。斯图姆当时没有解决，就向许多数学家提出这一问题，首先给出证明的是瑞士几何学家斯坦纳（J.Steiner,1796~1863）,因而这一定理就称为斯坦纳—
雷米欧斯定理.
证法:德国数学家海塞（L.O.Hesse,1811~1874）的证法。
作∠BDF=∠BCE;并使DF=BC∵BD=EC∴△BDF≌△ECB,BF=BE,∠BEC=∠DBF设∠ABD=∠DBC=α,∠ACE=∠ECB=β∠FBC=∠BEC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β);∠CDF=∠FDB+∠CDB=β+180-2β-α=180°-(α+β);∴∠FBC=∠CDF∵2α+2β<180°,∴α+β<90°∴∠FBC=∠CDF>90°∴过C点作FB的垂线和过F点作CD的垂线必都在FB和CD的延长线上.设垂足分别为G、H;∠HDF=∠CBG;∵BC=DF,∴Rt△CGB≌Rt△FHD∴CG=FH,BC=HD连接CF∵CF=FC,FH=CG∴Rt△CGF≌△FHC∴FG=CH,∴BF=CD,∴CD=BE∵BE=CD,BC=CB,∴△BEC≌△CDB∴∠ABC=∠ACB∴AB=AC

热心网友时间：2023-11-05 16:16

设三角形ABC，角B、角C的平分线是BE、CD
作∠BEF=∠BCD;并使EF=BC
∵BE=DC
∴△BEF≌△DCB,BF=BD,∠BDC=∠EBF
设∠ABE=∠EBC=α,∠ACD=∠DCB=β
∠FBC=∠BDC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β);
∠CEF=∠FEB+∠CEB=β+180-2β-α=180°-(α+β);
∴∠FBC=∠CEF
∵2α+2β<180°,∴α+β<90°
∴∠FBC=∠CEF>90°
∴过C点作FB的垂线和过F点作CE的垂线必都在FB和CE的延长线上.
设垂足分别为G、H;
∠HEF=∠CBG;
∵BC=EF,
∴Rt△CGB≌Rt△FHE
∴CG=FH,BC=HE
连接CF
∵CF=FC,FH=CG
∴Rt△CGF≌△FHC
∴FG=CH,∴BF=CE,∴CE=BD
∵BD=CE,BC=CB,∴△BDC≌△CEB
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC

热心网友时间：2023-11-05 16:17

1840年，雷米欧斯（C.L.Lehmus）在给斯图姆（C.Sturm）的信中请求他给出如下命题的一个纯几何证明：两条内角平分线相等的三角形是等腰三角形。斯图姆当时没有解决，就向许多数学家提出这一问题，首先给出证明的是瑞士几何学家斯坦纳（J.Steiner,1796~1863）,因而这一定理就称为斯坦纳— 雷米欧斯定理.

证法:德国数学家海塞（L.O.Hesse,1811~1874）的证法。

作∠BDF=∠BCE;并使DF=BC∵BD=EC∴△BDF≌△ECB,BF=BE,∠BEC=∠DBF设∠ABD=∠DBC=α,∠ACE=∠ECB=β∠FBC=∠BEC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β);∠CDF=∠FDB+∠CDB=β+180-2β-α=180°-(α+β);∴∠FBC=∠CDF∵2α+2β<180°,∴α+β<90°∴∠FBC=∠CDF>90°∴过C点作FB的垂线和过F点作CD的垂线必都在FB和CD的延长线上.设垂足分别为G、H;∠HDF=∠CBG;∵BC=DF,∴Rt△CGB≌Rt△FHD∴CG=FH,BC=HD连接CF∵CF=FC,FH=CG∴Rt△CGF≌△FHC∴FG=CH,∴BF=CD,∴CD=BE∵BE=CD,BC=CB,∴△BEC≌△CDB∴∠ABC=∠ACB∴AB=AC

热心网友时间：2023-11-05 16:18

参考资料：http://ke.baidu.com/view/2234187.html