抛物线切线方程的推导过程
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发布时间:2022-04-27 03:19
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热心网友
时间:2022-06-25 09:26
抛物线y²=2px是圆锥曲线方程,但不是函数,由x轴分成的两部分是函数,且两个对应的反函数合起来是一个函数,即y=x²/(2p),
它也是抛物线,且与抛物线y²=2px关于直线y=x对称;
设抛物线y=x²/(2p)上任一点为M(x0,x0²/(2p));
由该抛物线图像可知,其上任一点的切线都不可能与y轴平行,
即其上任一点的切线斜率都存在,设过M点的斜率为k,
则其切线方程为y-(x0²/(2p))=k(x-x0);
联立y=x²/(2p),消去y得:(1/(2p))x²-kx+(kx0-(x0²/(2p)))=0;
则Δ=(-k)²-4(1/(2p))(kx0-(x0²/(2p)))=0,
化简得k²-2(x0/p)k+(x0²/p²)=0,解得k=x0/p;
热心网友
时间:2022-06-25 09:26
可设切线方程为y-b=k(x-a)
联立切线与抛物线。
y=k(x-a)+b
则
[k(x-a)+b]^2-2px=0
整理得
k^2x^2-(2k^2a+2p-2kb)x+k^2a^2+b^2-2kba=0
因为为相切,所以
△=0
则(2k^2a+2p-2kb)^2-4k^2*(k^2a^2+b^2-2kba)=0
可求得k=p/b。
代回y-b=k(x-a)
y=p/b*(x-a)+b
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微积分方法:
在m(a,b)点斜率为
求导:
2yy'=2p
代入点(a,b)
则y'=p/b
所以切线为:y=p/b*(x-a)+b