圆锥曲线的所有定义,性质!
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发布时间：2022-04-26 23:12
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热心网友
时间：2022-05-06 00:11
1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。即：{P| |PF<sub>1</sub>|+|PF<sub>2</sub>|=2a, (2a>|F<sub>1</sub>F<sub>2</sub>|)}。
2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。即{P|||PF<sub>1</sub>|-|PF<sub>2</sub>||=2a, (2a<|F<sub>1</sub>F<sub>2</sub>|)}。
3. 圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。
二、圆锥曲线的方程。
1.椭圆： + =1（a>b>0）或 + =1（a>b>0）（其中，a2=b2+c2）
2.双曲线： - =1（a>0, b>0）或 - =1（a>0, b>0）（其中，c2=a2+b2）
3.抛物线：y2=±2px（p>0），x2=±2py（p>0）
三、圆锥曲线的性质
1.椭圆： + =1（a>b>0）
（1）范围：|x|≤a，|y|≤b
（2）顶点：(±a,0)，(0,±b)
（3）焦点：(±c,0)
（4）离心率：e= ∈(0,1)
（5）准线：x=±
2.双曲线： - =1（a>0, b>0）
（1）范围：|x|≥a, y∈R
（2）顶点：(±a,0)
（3）焦点：(±c,0)
（4）离心率：e= ∈(1,+∞)
（5）准线：x=±
（6）渐近线：y=± x
3.抛物线：y2=2px(p>0)
（1）范围：x≥0, y∈R
（2）顶点：（0,0）
（3）焦点：（ ,0）
（4）离心率：e=1
（5）准线：x=- 四、例题选讲： 例1.椭圆短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到准线的距离是__________。
解：由题：2b=2，b=1，a=2，c= = ，则椭圆中心到准线的距离： = = 。
注意：椭圆本身的性质（如焦距，中心到准线的距离，焦点到准线的距离等等）不受椭圆的位置的影响。
例2.椭圆 + =1的离心率e= ，则m=___________。
解：（1）椭圆的焦点在x轴上，a2=m，b2=4，c2=m-4，e2= = = m=8。
（2）椭圆的焦点在y轴上，a2=4，b2=m，c2=4-m，e2= = = m=2。
注意：椭圆方程的标准形式有两个，在没有确定的情况下，两种情况都要考虑，切不可凭主观丢掉一解。
例3.如图：椭圆 + =1（a>b>0），F1为左焦点，A、B是两个顶点，P为椭圆上一点，PF1⊥x轴，且PO//AB，求椭圆的离心率e。
解：设椭圆的右焦点为F2，由第一定义：|PF1|+|PF2|=2a,
∵ PF1⊥x轴，∴ |PF1|2+|F1F2|2=|PF2|2，
即(|PF2|+|PF1|)(|PF2|-|PF1|)=4c2, ∴ |PF1|= 。 ∵ PO//AB，∴ ΔPF1O∽ΔBOA,
∴ = c=b a= c, ∴ e= = 。
又解，∵ PF1⊥x轴，∴ 设P(-c, y)。
由第二定义： =e |PF1|=e(x0+ )= (-c+ )= ,
由上解中ΔPF1O∽ΔBOA，得到b=c e= 。
例4.已知F1，F2为椭圆 + =1的焦点，P为椭圆上一点，且∠F1PF2= ，求ΔF1PF2的面积。
分析：要求三角形的面积，可以直接利用三角形的面积公式，注意到椭圆中一些量之间的关系，我们选用面积公式S= absinC。
解法 一：SΔ= |PF1|·|PF2|·sin
|PF1|+|PF2|=2a=20，
4×36=4c2=|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos ，
即(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|=4×36，
|PF1|·|PF2|= ∴ SΔ= × × = 。 解法二：SΔ= |F1F2|·|yP|= ×12×yP=6|yP|， 由第二定义： =e |PF1|=a+exP=10+ xP， 由第一定义：|PF2|=2a-|PF1|=10- xP， 4c2=|F1F2|2=(10+ xP)2+(10- xP)2-2(10+ xP)(10- xP)cos ， 144=100+ = ， =64(1- )=64× ， SΔ=6|yP|=6× = 。 注意：两个定义联合运用解决问题。从三角形面积公式均可得到结果。初学时最好两种
热心网友
时间：2022-05-06 01:29
平面上到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离为定值（离心率e）的点的集合。而根据e的大小分为椭圆，抛物线，双曲线。圆可看作e为0的曲线。
1。0<e<1为椭圆，直角坐标系中标准方程为：
x^2/a^2+y^2/b^2=1(0<b<a)，焦点在x轴上，焦点（c，0）（－c，0）准线x=+-a^2/c,e=c/a
y^2/a^2+y^2/b^2=1(0<b<a)，焦点在y轴上，焦点（0，c）（0。－c）准线y=+-a^2/c,e=c/a
a^2=b^2+c^2
椭圆上任意一点到两焦点距离之和为2a（定值），且大于焦距2c，这是第一定义
光学性质：过焦点的任意一条光线经椭圆反射必过另一焦点
2。e=1为抛物线，直角坐标系中标准方程为：
y^2=2px,对称轴为x轴，焦点（p/2,0），准线x=-p/2
x^2=2py，对称轴为y轴，焦点，（0,p/2）准线y=-p/2
光学性质：任意平行对称轴的光线经抛物线反射必过焦点（或反向延长线过焦点）
3。1<e为双曲线，直角坐标系中标准方程为：
x^2/a^2－y^2/b^2=1(0<b<a)，焦点在x轴上，焦点（c，0）（－c，0）准线x=+-a^2/c,e=c/a
y^2/a^2－y^2/b^2=1(0<b<a)，焦点在y轴上，焦点（0，c）（0。－c）准线y=+-a^2/c,e=c/a
c^2=b^2+a^2
双曲线上任意一点到两焦点距离之差的绝对值为2a（定值），且小于焦距2c，这是第一定义
光学性质：过焦点的任意一条光线经双曲线反射其反向延长线必过另一焦点
