关于参数方程与极坐标方程（涉及高数部分），第一条题目用的是极坐标求弧长公式，第二个用的是参数方程求

发布网友 发布时间：2022-04-27 00:19

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热心网友 时间：2023-11-13 15:26

你给的第2题也是极坐标方程。参数方程是 x=x(t), y=y(t).
(1) 该曲线 0≤θ≤3π， 故
L=∫<0, 3π>√(r^2+r'^2)dθ
= a∫<0, 3π>√{[sin(θ/3)]^6+[cos(θ/3)]^2[(sin(θ/3)]^4}dθ
= a∫<0, 3π>[(sin(θ/3)]^2dθ = a/2∫<0, 3π>[1-(sin(2θ/3)]dθ
= a/2[θ+(3/2)cos(2θ/3]<0, 3π> = 3πa/2.
(2). 曲率 K=|r^2+2r'2-rr'|/(r^2+r'^2)^(3/2),
r=a(1+cosθ), r'=-asinθ, 代入上式得
K=(1/a)|1+2cosθ+(cosθ)^2+2(sinθ)2+sinθ+cosθsinθ|/
[1+2cosθ+(cosθ)^2+2(sinθ)^2]^(3/2)
=(1/a)|2+2cosθ+(sinθ)2+sinθ+(1/2)sin2θ|/[2+2cosθ+(sinθ)^2]^(3/2),
该曲线是心脏线，有尖点，曲率不存在。不知要求那点的曲率？

热心网友 时间：2023-11-13 15:26

你给的第2题也是极坐标方程。参数方程是 x=x(t), y=y(t).
(1) 该曲线 0≤θ≤3π， 故
L=∫<0, 3π>√(r^2+r'^2)dθ
= a∫<0, 3π>√{[sin(θ/3)]^6+[cos(θ/3)]^2[(sin(θ/3)]^4}dθ
= a∫<0, 3π>[(sin(θ/3)]^2dθ = a/2∫<0, 3π>[1-(sin(2θ/3)]dθ
= a/2[θ+(3/2)cos(2θ/3]<0, 3π> = 3πa/2.
(2). 曲率 K=|r^2+2r'2-rr'|/(r^2+r'^2)^(3/2),
r=a(1+cosθ), r'=-asinθ, 代入上式得
K=(1/a)|1+2cosθ+(cosθ)^2+2(sinθ)2+sinθ+cosθsinθ|/
[1+2cosθ+(cosθ)^2+2(sinθ)^2]^(3/2)
=(1/a)|2+2cosθ+(sinθ)2+sinθ+(1/2)sin2θ|/[2+2cosθ+(sinθ)^2]^(3/2),
该曲线是心脏线，有尖点，曲率不存在。不知要求那点的曲率？

热心网友 时间：2023-11-13 15:27

一般表达式中出现x^2＋y^2时用极坐标形式追问题目给出的都是r（t）形式，我想问的是这种

热心网友 时间：2023-11-13 15:27

一般表达式中出现x^2＋y^2时用极坐标形式追问题目给出的都是r（t）形式，我想问的是这种