高数中y=x的平方*sin2x 50次导数怎么求

发布网友发布时间：2023-10-19 15:03

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热心网友时间：2024-12-02 11:57

麦克劳林展开式：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和：
　　f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!�6�1x^2,+f'''(0)/3!�6�1x^3+……+f(n)(0)/n!�6�1x^n+Rn
　　其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!�6�1x^(n+1),这里0<θ<1。
麦克劳林展开式的应用：
　　1、展开三角函数y=sinx和y=cosx。
　　解：根据导数表得：f(x)=sinx , f'(x)=cosx , f''(x)=-sinx , f'''(x)=-cosx , f(4)(x)=sinx……
　　于是得出了周期规律。分别算出f(0)=0，f'(0)=1, f''(x)=0, f'''(0)=-1, f(4)=0……
　　最后可得：sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-……（这里就写成无穷级数的形式了。）
　　类似地，可以展开y=cosx。
　　2、计算近似值e=lim x→∞ (1+1/x)^x。
　　解：对指数函数y=e^x运用麦克劳林展开式并舍弃余项：
　　e^x≈1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!
　　当x=1时，e≈1+1+1/2!+1/3!+……+1/n!
　　取n=10,即可算出近似值e≈2.7182818。
另外还有泰勒公式。一般就是用这两种了，具体怎么运用，视乎于你学习的能力了