已知sinxcosy=1/2,则cosx-siny的取值范围是?
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发布时间：2023-10-19 15:03
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时间：2024-12-11 23:21
注意：三角函数具有有界性。
若x=45°,y=-45°,则cosx-siny=√2;
若x=135°,y=45°,则cosx-siny=-√2.
所以这个答案是错误的。那么，cosx-siny的取值范围究竟是多少呢？
前面我提到了”三角函数具有有界性“，的确，可以利用三角函数的有界性来解决这个问题。
为了使问题简化，我们可以令X=x,Y=-y,那么本题就变为
"已知sinXcosY=1/2,则cosX+sinY的取值范围是？";
这里利用了变量代换的思想。于是，可以令
cosX+sinY=t;(实际上是求t的范围)
sinX+cosY=m.
把这两个式子的两边同时平方，可以得到：
cosX^2+sinY^2+2cosXsinY=t^2;
sinX^2+cosY^2+2sinXcosY=m^2;
把这两个式子相加，得：
cosX^2+sinY^2+2cosXsinY+sinX^2+cosY^2+2sinXcosY=t^2+m^2；
化简得：
3+2cosXsinY=t^2+m^2即cosXsinY=(t^2+m^2-3)/2;
注意到：cosX+sinY=t,利用不等式的性质可知:cosX+sinY<=t^2/4,即
(t^2+m^2-3)/2<=t^2/4.
化简得：
t^2+2m^2-6<=0.
注意到：sinXcosY=1/2,利用不等式的性质可知:sinX+cosY>=√2或sinX+cosY<=-√2.
即√2=<|m|<=2;故2=<m^2<=4.
而要存在这样的m使得等式”t^2+2m^2-6<=0“成立。
特别注意：是”存在“而不是”任意的“或"所有的"。
即存在t^2<=2m^2-6成立,很显然，对于”存在“，要取m^2=4,即t^2<=2,故t的取值范围是：
[-√2,√2].
