鸡兔同笼的公式是怎么推导出来的?
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发布时间：2022-04-26 23:27
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热心网友
时间：2022-06-20 03:01
一、鸡兔同笼问题
例1 笼中有若干只鸡和兔，凣它们共有50个头和140只脚，列问鸡兔各有多少只？
解法1 假设法
假设一个未知数是已知的，凇比如假定50个头全是兔，别则共有脚（4×50=）200（只），刖这与题中已知140只不符，函多出（200-140=）60（只），出多的原因是鸡当兔后每只鸡多算了2只脚，冻所以鸡的只数是（60÷2=）30（只），几则兔的只数为（50-30＝）20（只）。刈
这种解法，凭思路清晰，刧但较复杂，刢不便操作。凛能不能形象地画个图呢？让我们试试。凘
解法2 图形法
从图中看ACDF的面积＝4×50＝200（只脚），凢 比实际多出 GHEF的面积＝200-140＝60（只脚），凊 AB=GH=60÷2=30（只鸡），减 BC=AC-AB=50-30＝20（只兔）
解法2比解法1高级，刨算理是一样的。刏这里答案是图上算出的，凛显然这两种解法都要用纸和笔。刄不用纸和笔肯定是用口诀或易记的公式，凩这是老公公的传家宝。刢
解法3 公式法
老公公讲：只要用哨子一吹，凘并喊一声口令：“全体肃立”。凑这时每只鸡呈金鸡独立之状，刎每只兔呈玉兔拜月状，凤着地的脚数之和有（140÷2＝）70（只），凥其中鸡的头数与脚数相等，冻由于每只兔的脚比头数多1，凐因此兔的头数为（70－50＝）20（个），凯即兔有20只，凙则鸡有（50－20＝）30（只）。凞这个故事实际上老公公用了如下的公式。刧
脚数和÷2-头数和=兔子数。刦
小孙子们听了兴趣为之大增，凨纷纷叫老公公再出几道题。凿老公公又出了
（1）30个头，凶80只脚……。凝（兔10，凥鸡20）。凴
（2）100只脚，凫40个头……。刉（兔10，凡鸡30）。凙
（3）80个头，凮200只脚……。凭（兔20，凖鸡60）
小孙子们个个都愉快地答出来了。凿
这个公式简洁好用，凤它是祖代传下来的还是老公公想出来的呢？我们中华文化博大精深，刚这两种可能性都是有的。凡这个公式是碰巧做对还是符合算理的呢？这是十分重要的。创数学家高斯说过：“数学中许多方法与定理是靠归纳发现的，凌证明只是补行的手续而已。刦”现在我们就来补行这个手续。凨
2鸡头=鸡脚。刁
4兔头=兔脚。刖
得：兔脚+鸡脚=2鸡头+4兔头
=2（鸡头+2兔头）。凢
这就证明了老公公归纳的公式。刓
说到鸡兔同笼问题，凩常常大家精神就紧张起来，凎以为是难题来了。凷现在掌握了规律其实不难，凉所以凡事都应去摸索规律，刃照规律办事。刘
鸡兔同笼问题在民间是当故事讲的，刑有没有实际价值呢？我们再来看下面的问题。凤
二、邮票问题
例2 买3角与5角的邮票共24张，凓总值9.6元，凫问两种邮票各买了几张？
解这道题当然可以用假设法和图形法，刢但用什么样的公式呢？美国数学教育家C·波利亚说：“……不论初等数学、高等数学中的发现……特别是不能没有类比。刌”用类比很容易发现这个公式是：邮
设3角邮票为A1张，凇价值A2角；
5角邮票为B1张，刄价值B2角。凬
说明数量关系与鸡兔同笼问题相一致。列
又3A1=A2，凬5B1=B2。删
得：A2＋B2＝3A1+5B1，刣
这就与例1的公式相类似，列很容易将这个公式翻译成语言陈述，凿大家试
（24－12＝）12（张）。别
如果你认为这个公式不太好记，刌就不妨用图来解。刍
（24×5－96）÷2=12（张、3角）
24-12＝12
所以解题方法的选用常常是根据具体情况而定的。函
再试试
（1）6角与8角的邮票共18张，刁总价12.4元，凨问两种邮票各几张？（10，凣8）
（2）3角与8角的邮票共100张，刀总价50元，函问两种邮票各几张？（60，凣40）
三、植树问题
例3 一次植树活动，凋规定大树每人种2棵，刖小树每人种4棵，凘全班50人种树140棵，刍问种这两种树的各有多少人？
这道题可用例1的公式很快解得种大树的有30人，凫种小树的有20人。凓
四、运输（工作）问题
例4 有小卡车50辆，凹大卡车每辆运4吨，凡小卡车每辆运2吨，刑共运140吨化肥，刊问大小卡车各几辆？
难道不是题目看完答案就出来了吗？
五、农药问题
例5 甲种农药每千克兑水20千克，凛乙种农药每千克兑水40千克，净现为了提高药效，刨根据农科所意见，刃甲乙两种农药混合使用，凗已知两种农药共50千克，凮要配药水140千克，凩问甲、乙两种农药各需多少千克？
用公式解很简单（30，刣20），冻如果将这个公式交给农民，凼那么他们配起农药来就既方便又正确，凥你能想出这个公式是什么吗？
还会遇到许多许多的问题，凫它们的数量关系（应用题的本质）与鸡兔同笼问题相一致，刓都可以用鸡兔同笼问题的三种方法来解，凤这些问题我们将它们统称为鸡兔同笼问题。删
相传大禹治水到黄河，凥发现一只神龟，凊背上驮了一张图叫河图（洛书）。凳（左图），刅用阿拉伯数字表示就是右图，凾图中三条竖线、三条横线、二条对角线共八条线上三个数的和都是15，减这样的图是怎样造出来的呢？其法一时失传了，刚于是有人用它来占卜、相风水，凡进入迷信状态。几后来数学家发现其原理是二进制，凋说明二进制是中国人最先发明的，凴近代根据二进制发明了计算机，凝所以有些基础科学的研究成果一时看起来无多大用途，删以后渐渐会发现有大用途，凴鸡兔同笼问题不也是这样吗？因此我们一定要重视基础科学的学习和研究
热心网友
时间：2022-06-20 03:01
解法二和解法一相比的话,就是反过来看,假设每只兔子的脚和鸡一样少
那么 总脚数－鸡的脚数×总只数-----就是少算的脚的数量,而实际上每只兔子会比鸡多脚 兔的脚数－鸡的脚数,所以两者除一下就得到兔子的数量了.
解法三的话比较难想象一些,你可以把每个兔子都想象成有四只脚和两个头,这样的话, 总脚数÷2 就是总的头数,不过这里的兔子每个有两个头,哈哈.然后再减去总头数,就是相当于每个双头兔子砍掉一个头了,这样也就可以得到兔子的数量了.
