设双曲线C:x2/2-y2=1的左右顶点分别为a1,a2,垂直于x轴的直线m与双曲线...
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发布时间：2023-10-21 03:07
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时间：2024-09-18 17:13
设P（x0，y0），Q（x0，-y0），则A1P=(x0+2，y0)，A2Q=(x0-2，-y0)
由A1P•A2Q=1，可得x20-y20=3 …①
又P（x0，y0）在双曲线上，则x202-y20=1 …②
联立①、②，解得x0=±2
由题意，x0＞0，∴x0=2
∴点T的坐标为（2，0）
（2）设直线A1P与直线A2Q的交点M的坐标为（x，y）
由A1、P、M三点共线，得(x0+2)y=y0(x+2) …③
由A2、Q、M三点共线，得(x0-2)y=-y0(x-2) …④
联立③、④，解得x0=2x，y0=2yx
∵P（x0，y0）在双曲线上，∴(2x)22-(2yx)2=1
∴轨迹E的方程为x22+y2=1（x≠0，y≠0）
（3）由题意直线l的斜率不为0．故可设直线l的方程为x=ky+1代入x22+y2=1中，得（k2+2）y2+2ky-1=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则由根与系数的关系，得y1+y2=-2kk2+2 …⑤y1y2=-1k2+2 …⑥
∵FA=λFB，∴有y1y2=λ（λ＜0）
将⑤式平方除以⑥式，得y1y2+y2y1+2=--4k2k2+2，即λ+1λ+2=--4k2k2+2
由λ∈[-2，-1]，可得λ+1λ+2≤0
∴--4k2k2+2≤0，∴0≤k2≤27
∵TA+TB=（x1+x2-4，y1+y2）
∴|TA+TB|2=（x1+x2-4）2+（y1+y2）2=16-28k2+2+8(k2+2)2
令t=1k2+2，∵0≤k2≤27，∴716≤1k2+2≤12，即t∈[716，12]
∴|TA+TB|2=f（t）=8t2-28t+16=8（t-74）2-172
而t∈[716，12]，∴f（t）∈[4，16932]
∴|TA+TB|∈[2，1328]．
