待定系数法分解因式

发布网友 发布时间：2022-04-19 15:45

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热心网友 时间：2023-06-23 05:46

（以下过程均是在实数范围内分解因式）
解(1)x^5+x+1
因为原式是5次式
所以若原式可以因式分解，则一定可以分解为
一个2次式因式和一个3次因式，或者一个1次因式和一个4因式
若原式可以分解为一个2次式因式和一个3次因式：
由于原式最高次项是x^5，最低次项(常数项)是1，
所以可设原式=(x^3+ax^2+bx+1)(x^2+cx+1)
（因为原式的最高次项一定等于两个因式的最高次项乘积，且原式最低次项也一定等于两个因式的最低次项乘积）
展开得：原式=x^5+(a+c)x^4+(ac+b+1)x^3+(bc+a+1)x^2+(b+c)x+1
由于原式的2、3、4次项的系数都是0，1次项系数是1
所以a,b,c必须同时满足以下四个方程：
a+c=0
ac+b+1=0
bc+a+1=0
b+c=1
如果此方程组无解，则说明原式不可因式分解。（从上述4个方程中任取出3个方程，可解得a,b,c的值，将这组值带入剩下的那个方程，若等号恰好成立，则说明此该a,b,c的值是原方程组的解；若等号不成立，则说明该方程组无解）
但此题恰好有解，解得a=-1，b=0，c=1
所以原式=(x^3-x^2+1)(x^2+x+1)
检验：分解是否彻底
因式x^2+x+1的判别式<0，故不能继续分解
对于因式x^3-x^2+1，也可以用待定系数法
设x^3-x^2+1=(x^2+mx+1)(x+1)
=x^3+(m+1)x^2+(m+1)x+1
所以
m+1=-1
m+1=0
显然无解。所以x^3-x^2+1不能继续分解。
所以分解已经彻底
若原式可以分解为一个1次式因式和一个4次因式：
则设原式=(x^4+ax^3+bx^2+cx+1)(x+1)
=x^5+(a+1)x^4+(a+b)x^3+(b+c)x^2+(c+1)x+1
所以：
a+1=0
a+b=0
b+c=0
c+1=1
次方程组无解
所以原式不能分解成一个1次因式和1个4次因式
综上所述，原式=(x^3-x^2+1)(x^2+x+1)
(2)x^5+x^4+1
同上题理
若原式可以分解为一个2次式因式和一个3次因式：
设原式=(x^3+ax^2+bx+1)(x^2+cx+1)
=x^5+(a+c)x^4+(ac+b+1)x^3+(bc+a+1)x^2+(b+c)x+1
方程组：
a+c=1
ac+b+1=0
bc+a+1=0
b+c=0
解该方程组的方法同上，即从上述4个方程中任取出3个方程，可解得a,b,c的值，将这组值带入剩下的那个方程，恰好能使等号成立。所以最后解得a=0，b=-1，c=1
所以原式=(x^3-x+1)(x^2+x+1)
检验分解是否彻底”
因式x^2+x+1的判别式<0，故不能继续分解
对于因式x^3-x+1，
设其(x^2+mx+1)(x+1)
=x^3+(m+1)x^2+(m+1)x+1
所以
m+1=0
m+1=-1
显然无解。所以x^3-x+1不能因式分解
所以分解已彻底
若原式可以分解为一个1次式因式和一个4次因式：
则设原式=(x^4+ax^3+bx^2+cx+1)(x+1)
=x^5+(a+1)x^4+(a+b)x^3+(b+c)x^2+(c+1)x+1
方程组为：
a+1=1
a+b=0
b+c=0
c+1=0
该方程组无解，说明原式不可以分解为一个1次式因式和一个4次因式
综上所述，原式=(x^3-x+1)(x^2+x+1)

热心网友 时间：2023-06-23 05:46

一共有三种解法
用十字相乘法法，把y作为常数，x
做降幂排列。
原式=2x2+(y-4)x+(-y2+5y-6)
=2x2+(y-4)x+[-(y2-5y+6)]
=2x2+(y-4)x+[-(y-2)(y-3)]
作十字分解，如下：
1
y-3
2
-y+2
则：
原式=[1x+(y-3)][2x+(-y+2)]
=(x+y-3)(2x-y+2)
验算，结果=2x2-xy+2x+2xy-y2+2y-6x+3y-6
=2x2+xy-y2+5y-6=题目的式子
无误
将2x^2+xy-y^2因式分解：2x^2+xy-y^2＝(2x-y)(x+y)
那么假设2x^2+xy-y^2-4x+5y-6可以分解为(2x-y+a)(x+y+b)
展开：2x^2+xy-y^2+(a+2b)x+(a-b)y+ab
那么：a+2b=-4,
a-b=5,
ab=-6
解出a＝2，b＝－3
所以：2x^2+xy-y^2-4x+5y-6＝(2x-y+2)(x+y-3)
2x^2+xy-y^2-4x+5y-6
=(2x-y)(x+y)-4x+5y-6
=(2x-y)(x+y)+(2x+2y)-6x+3y-6
=(2x-y)(x+y)+2(x+y)-6x+3y-6
=(x+y)(2x-y+2)-3(2x-y+2)
=(2x-y+2)(x+y-3)

热心网友 时间：2023-06-23 05:47

问老师，让老师给你解答。直接告诉你答案，是对你的不负责任。谁都是从不会到朦朦胧胧、似有若无的懂，最后才是真正的明白的。都有这么一个过程，别气馁。

热心网友 时间：2023-06-23 05:47

要先了解待定系数法的定义， 一种求未知数的方法。一般用法是，设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用两个多项式恒等时同类项系数相等的原理或其他已知条件确定这些系数，从而得到待求的值。例如，将已知多项式分解因式，可以设某些因式的系数为未知数，利用恒等的条件，求出这些未知数。求经过某些点的圆锥曲线方程也可以用待定系数法。从更广泛的意义上说，待定系数法是将某个解析式的一些常数看作未知数，利用已知条件确定这些未知数，使问题得到解决的方法。求函数的表达式，把一个有理分式分解成几个简单分式的和
，求微分方程的级数形式的解等，都可用这种方法--- 熟练了以后 就好了，因式分解的基础要好，努力吧！

热心网友 时间：2023-06-23 05:48

x4+2x3+3x2+2x+1=(a1x2+b1x+c1)(a2x2+b2x+c2)
=a1a2x4+(a1b2+a2b1)x3+(a1c2+a2c1+b1b2)x2+(b1c2+b2c1)x+c1c2
a1a2=1
a1b2+a2b1=2
a1c2+a2c1+b1b2=3
b1c2+b2c1=2
c1c2=1
解得：
a1=1
a2=1
b1=1
b2=1
c1=1
c2=1
即
原始=(x2+x+1)^2