数学的本质是什么?
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发布时间:2022-04-26 02:24
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时间:2022-05-02 07:16
数学源自于古希腊语,是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。透过抽象化和逻辑推理的使用,由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。数学的基本要素是:逻辑和直观、分析和推理、共性和个性。
数学,作为人类思维的表达形式,反映了人们积极进取的意志、缜密周详的逻辑推理及对完美境界的追求。它的基本要素是:逻辑和直观、分析和推理、共性和个性。虽然不同的传统学派可以强调不同的侧面,然而正是这些互相对立的力量的相互作用,以及它们综合起来的努力,才构成了数学科学的生命力、可用性和它的崇高价值。
现代数学在方法上最明显的特色是它的演绎性,就是由基本定义与公理出发,经逻辑推论到所有定理的发展方式。采取这种方法并非偶然,而是有内在的需求。我们要把一套概念讲清楚,必须用比较简单的概念来解释,但是这些概念又需要再加澄清,如此继续下去,如果不曾周而复始得到一个什麼也说不清的恶性循环,便会无限延伸下去,达到一个不可知的前端。人类寻求知识的目的在组织自己对外在的认识,而去了解事物的表象与本质,因此在没有坠入不可知的深渊前,必定会在某些我们直觉已认为意义相当清晰的概念处停住。我们把这些概念作为理论发展的基础,不再去解释它们的意义,也就是说暂时抛开它们的具体内容。这些概念我们称为基础概念。从此以後在我们理论发展的过程中,一切的概念都要由这些基础概念定义出,否则便不能采用。基础概念间如果彼此毫无关联,显然无法用来建立起一套有意义的理论,那麼在联系起基础概念的叙述中,我们又必须挑出一些在认识上感觉最明白的作为出发点,这些叙述我们称为公理。自此我们便用逻辑的方法,由基础概念与公理演绎出所有的定理,而一切不能由这个程序推得的叙述,我们便不认为它是这套理论裏正确的命题。现代数学中各门理论,基本上都是由这个演绎方法组织起的。不过比较复杂的理论,除了自己的基础概念及公理外,常常要引用别的理论的结果。所以严格说起来,那些理论的基础概念及公理也必须包括进来。但是为表达的简明,我们通常不这样全套写出。譬如大部分的理论都引用集合论的概念与定理,而一切数学理论系统必须立足於逻辑系统上,否则便无法作推论了。
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时间:2022-05-02 08:34
数学源自于古希腊语,是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。透过抽象化和逻辑推理的使用,由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。数学的基本要素是:逻辑和直观、分析和推理、共性和个性。
数学,作为人类思维的表达形式,反映了人们积极进取的意志、缜密周详的逻辑推理及对完美境界的追求。它的基本要素是:逻辑和直观、分析和推理、共性和个性。虽然不同的传统学派可以强调不同的侧面,然而正是这些互相对立的力量的相互作用,以及它们综合起来的努力,才构成了数学科学的生命力、可用性和它的崇高价值。
现代数学在方法上最明显的特色是它的演绎性,就是由基本定义与公理出发,经逻辑推论到所有定理的发展方式。采取这种方法并非偶然,而是有内在的需求。我们要把一套概念讲清楚,必须用比较简单的概念来解释,但是这些概念又需要再加澄清,如此继续下去,如果不曾周而复始得到一个什麼也说不清的恶性循环,便会无限延伸下去,达到一个不可知的前端。人类寻求知识的目的在组织自己对外在的认识,而去了解事物的表象与本质,因此在没有坠入不可知的深渊前,必定会在某些我们直觉已认为意义相当清晰的概念处停住。我们把这些概念作为理论发展的基础,不再去解释它们的意义,也就是说暂时抛开它们的具体内容。这些概念我们称为基础概念。从此以後在我们理论发展的过程中,一切的概念都要由这些基础概念定义出,否则便不能采用。基础概念间如果彼此毫无关联,显然无法用来建立起一套有意义的理论,那麼在联系起基础概念的叙述中,我们又必须挑出一些在认识上感觉最明白的作为出发点,这些叙述我们称为公理。自此我们便用逻辑的方法,由基础概念与公理演绎出所有的定理,而一切不能由这个程序推得的叙述,我们便不认为它是这套理论裏正确的命题。现代数学中各门理论,基本上都是由这个演绎方法组织起的。不过比较复杂的理论,除了自己的基础概念及公理外,常常要引用别的理论的结果。所以严格说起来,那些理论的基础概念及公理也必须包括进来。但是为表达的简明,我们通常不这样全套写出。譬如大部分的理论都引用集合论的概念与定理,而一切数学理论系统必须立足於逻辑系统上,否则便无法作推论了。赞同9
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时间:2022-05-02 10:08
百度百科:
古时,数学内的主要原理是为了研究天文,土地粮食作物的合理分配,税务和贸易等相关的计算.数学也就是为了了解数字间的关系,为了测量土地,以及为了预测天文事件而形成的.这些需要可以简单地被概括为数学对数量、结构、空间及时间方面的研究.
西欧从古希腊到16世纪经过文艺复兴时代,初等代数、以及三角学等初等数学已大体完备.但尚未出现极限的概念.
17世纪在欧洲变量概念的产生,使人们开始研究变化中的量与量的互相关系和图形间的互相变换.在经典力学的建立过程中,结合了几何精密思想的微积分的方法被发明.随着自然科学和技术的进一步发展,为研究数学基础而产生的集合论和数理逻辑等领域也开始慢慢发展.
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时间:2022-05-02 12:00
网上资料:
1.“数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学”
众所周知,关于数学的这个定义是恩格斯提出来的。事实上,恩格斯的这个定义,很多年以来,就是国内和国际数学界与哲学界公认的最权威的定义,最新版(2005年版)的《现代汉语词典》仍然是这样来定义数学的——“研究现实世界的空间形式和数量关系的学科”。20世纪以来,新的数学分支不断产生,纯数学越来越抽象,它与现实世界之间的距离似乎越来越远;同时,应用数学在现实世界中的涉及面空前广泛且越来越广泛,数学的研究对象似乎不仅仅是空间形式与数量关系;而且,有不少研究者从自己的认识出发,提出了关于数学的多种定义。于是乎,近些年有人就认为恩格斯给数学所下的定义过时了或“远远不够了”。这样的认识是片面的,因为事实并非如此。匡继昌先生深刻分析了“数学是什么”,认为“数学的定义应该反映数学研究的对象及其本质属性”,“只有从唯物辩证法的哲学高度,才能认清现实世界的数量关系和空间形式不是固定不变的,而是其内涵不断加深,外延不断拓广的”,所以,“恩格斯关于‘数学是什么’的论断并未过时”。
2.数学是系统化了的常识
这是国际著名数学家和数学教育家弗赖登塔尔的观点。他认为数学的根源是普通常识,作为常识的数学,随着语言从说话到阅读和写作的不断进步与发展,也不断地进步与发展着。如数概念的获得,主要是由口头语言中相应的数词来支持的(如从一个人、一支笔、……,得到“1”),在这个过程中,首先是数学思想的语言表达。
普通常识是有等级的,普通常识由经验上升成规律后,这些规律再次成为普通常识,即较高层次的常识。弗赖登塔尔曾经说过:“为了真正的数学及其进步,普通的常识必须要系统化和组织化。如同以前一样,普通常识的经验被结合成为规律(比如加法的交换律),并且这些规律再次成为普通的常识,即较高层次的常识。作为更高层次数学的基础——一个巨大的等级体系,是由于非凡的相互影响的力量来建立的。”
3.数学是人为规定的一套语言、符号系统
这是部分数学史家们的看法。持这种观点的人虽然不多,但很有代表性,它给了我们认识“数学是什么”的一个新角度。翻开一部数学史,除了早期的数学与生活有着非常高的关联度,还需借助现实的生活事实去解释外,后来的数学就越来越关注自己的“语言、符号”了。这种现象最早可追溯到欧几里得的《几何原本》,到了现代,数学的这种特性表现得更加充分。
当然,数学作为人为规定的一套语言、符号系统,必须要有一定的条件。通俗点讲,就是这套语言、符号系统必须能自圆其说,高雅点讲,这套系统必须是完备的。举例来说,如果你规定1+1=3,在此基础上去构造一套语言、符号系统,并且能自圆其说,也许一个新的数学分支就诞生了。数学史上不乏这样的先例。如伽罗瓦的群论,康托尔的集合论等等,当初他们出现在数学家们的眼前时,并不为大家所认可。但事实证明,这些是数学,而且是非常重要的数学。由于康托尔的集合论在自圆其说方面有一点小小的问题,从而导致了历史上的一次严重的数学危机。随着这一危机的解决,集合论变得更加完备,数学的基础变得更加稳固。集合论的创立是数学史上的一个巨大成就,以至于今天的小学数学教学中,都必须渗透集合论的思想,从而提高学生的数学认知能力。
4.数学是确定无疑的绝对真理
这是一些数学家和数学哲学家们的观点。对于他们而言,任何知识都可能出错,唯独只有数学是不会出错的,是可*知识的唯一代表。在他们看来,演绎法为数学知识是绝对真理提供了保证。首先,数学证明中的基本陈述视其为真,数学公理假定为真,数学定义令其为真,逻辑公理认其为真。其次,逻辑推理规则保持真理性即只承认由真理推导出来真理。以上述两个事实为基础,可知演绎证明中的每个陈述包括它的结论都为真。于是,“由于数学定理都是由演绎证明所确定,因此它们都是可*真理。这就形成了许多哲学家所断言的数学真理就是可*真理的基础”。(欧内斯特语)
在这种观点之下,如果数学出现了矛盾或问题,那不是数学本身的错,而是人们的认识还未到达相应的境界,数学家和哲学家们会想办法去解决这些矛盾和问题,解决矛盾和问题的过程本身又促进了数学的发展。如π的出现,对于古希腊的数学家们来说,犹如晴天劈雳,难以接受,故而将其称为“无理数”。然而,正是为了使“无理”变得“有理”,数概念的范围从有理数扩展到了实数,促进了数学的发展。后来为了解决函数论和集合论中的一些矛盾,数学哲学也得到了较大发展,形成了逻辑主义、形式主义和构造主义(包括直觉主义)三大学派。
5.数学是可误的且可纠正的
这是部分数学哲学家们的观点,他们反对数学是绝对真理的主要理由是绝对观可归结为“假设——演绎”方法,数学真理和证明依据演绎和逻辑,但逻辑本身缺乏可*基础,它还要依据不可简约的假设。“但任何没有坚实基础的假设,不管它是从直觉、约定、意义或以其他任何方式所导出的,都是可误的。”(林夏水语)因此,他们认为数学是可纠正的且永远要接受更正。
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时间:2022-05-02 14:08
数学的本质就是抽象。数学研究的是抽象概念,运用的是抽像方法,数学的发展体现为抽象程度的逐渐深入。
数学是无实体的,但是却永恒的客观存在,每个人的周围和自然界数字无处不在,没有人再会把数学当成是单纯的研究数量关系的学科了,而是在不断地探索和思考。