怎样将圆5等分
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发布时间：2022-04-26 06:46
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热心网友
时间：2022-06-24 21:06
正五边形尺规作图：在圆O作相垂直的直径AB和MN，取半径OM中点K，以K为圆心、AK为半径作圆，交直径MN于H，则AH为圆O内接正五边形边长。
证明：为什么AH为圆O的内接正五边形弦长。
设R为圆O半径，正五边形边长=2Rsin[36度]
本题即需要证明∠AOB＝72度。
取AB的中点G，并过B作BJ⊥ON于J，
OK=R/2，⊿OAK勾股定理得：KA=(√5/2)R=KH
OH=KH-OK=(√5/2)R-R/2=(√5-1)R/2
⊿OAH中：AH^2=OH^2+OA^2={(√5-1)^2/4+1}R^2=(10-2√5)^2R^2/4
AH=(√(10-2√5)/2)R=AB
------【到这里实际就可以根据数值计算得：√(10-2√5)/4=sin[36]，只不过是无理数，
不能看到精确值，实际上是绝对相等的。】
G为AB中点，则：BG=AB/2=AH/2=(√(10-2√5)/4)R
OG^2=OB^2-BG^2=R^2-(10-2√5)R^2/16=(6+2√5)R^2/16
OG =(√(6+2√5)/4)R
直角梯形BJOA的面积有：
S[BJOA]=S[BJO]+S[AOB]
(BN+OA)×OJ/2=BN×OJ/2+AB×OG/2
化简得：OA×OJ= AB×OG，代入得：
OJ×R=(√(10-2√5)/2)R×(√(6+2√5)/4)R
得：OJ=(√(10+2√5)/4)R
BJ^2=OB^2-OJ^2=R^2-((10+2√5)/16)R^2=(6-2√5)R^2/16
得：BJ=(√(6-2√5)/4)R
Sin[∠BOG]=BG/OB=√(10-2√5)/4
Sin[∠BOJ]=BJ/OB＝BJ/R=√(6-2√5)/4
Cos[∠BOJ]=OJ/OB=OJ/R=√(10+2√5)/4
根据倍角公式sin[2x]=2sin[x]cos[x]
Sin[2∠BOJ]=2 Sin[∠BOJ] Cos[∠BOJ]
＝2×(√(6-2√5)/4)×(√(10+2√5)/4)
＝√(10-2√5)/4
＝Sin[∠BOG]
所以：∠BOG＝2∠BOJ
因为∠BOG+∠AOG+∠BOJ=2∠BOG+∠BOJ=5∠BOJ=90度，
所以∠BOJ＝18度，所以∠AOB＝72度。
故得证。
热心网友
时间：2022-06-24 21:06
方法二：首先在纸上画个圆，画出圆的直径AB来。之后把AB三等分(这个工作可使用有刻度的直尺来作，分点作C与D；过点C作EF垂直于AB，交圆周在E、F；连接ED并且延长和圆周交在H；连接FD，并且延长和圆周交在G；最后连接AH与AG，所以，五角星便近似地画出来。
参考资料：http://yihengwei.bokee.com/viewdiary.14082113.html
方法三：【自己想的，不是很好，但也是种方法】
用直尺测量圆的半径，计算内接五边形边长=2r*sin(72/2)
然后任取圆周一点画圆得两个交点，再一其中一点画圆再得一个交点
重复一次，得五个交点即是内接五边形得五个定点，成功！
热心网友
时间：2022-06-24 21:07
再过圆心画一条垂直这条直径的直径CD~(垂直的线会画吗??)
画出来的点顺时针依次为ACBD
然后找到半径OB的中点E,
用圆规以E为圆心.
CE为半径做圆弧,交半径AO于点F
而此时的CF即为该圆内接正五边形的边长,(别着急~)
然后以C为起点,以CF为长度,用圆规在圆上一次截取五个点.
而这五个点等分圆,
这是标准的尺规作图五等分圆.
证明如下:
(直接求值吧)
假设圆的半径为1(也可以是R)
那么就有
CE=1
EO=1/2
勾股定理得
CE=EF=√5/2
而EO=1/2
所以FO=EF-EO=(√5-1)/2
且CO=1
由勾股定理得
CF=[√(10-2√5)]/2
此时根据作图标出弧AC上截得的一点为M
连接AM得到等腰三角形AOC
现在过O作垂线交AC于N
因为等腰三角形中三线和一
所以AN=NC=1/2*CF=[√(10-2√5)]/4
而直角三角形ONC中CO=1
所以
sin<CON>=CN/CO=CN=[√(10-2√5)]/4 <CON>表示角CON
而知道因为角COA为圆五等分圆心角之一
即
<COA>=360/5=72
而NO平分<COA>
即
<CON>=36
而sin36=[√(10-2√5)]/4
所以该做法成立!!
这是很直观的证明了,如果需要严谨的证明.那等明天吧太晚了~~~`
(如果不知道sin36可以按计算器,或参阅一下连接中的几种求法.)
参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/51858362.html?si=2
热心网友
时间：2022-06-24 21:07
热心网友
时间：2022-06-24 21:08
