简述《原本》的内容20

发布网友发布时间：2023-09-25 01:55

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热心网友时间：2024-11-25 13:03

《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作。并把人们公认的一些事实列成定义和公理，以形式逻辑的方法，用这些定义和公理来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理得几何学论证方法，形成了一个严密的逻辑体系——几何学。而这本书，也就成了欧式几何的奠基之作。
这部书已经基本囊括了几何学从公元前7世纪的古埃及，一直到公元前4世纪——欧几里得生活时期——前后总共400多年的数学发展历史。它不仅保存了许多古希腊早期的几何学理论，而且通过欧几里得开创性的系统整理和完整阐述，使这些远古的数学思想发扬光大。
它开创了古典数论的研究，在一系列公理、定义、公设的基础上，创立了欧几里得几何学体系，成为用公理化方法建立起来的数学演绎体系的最早典范。
欧几里得所著的《原本》大约成书于公元前300年，原书早已失传。全书共分13卷。书中包含了5个“假设(Postulates)”、5条“公设(Common Notions)”、23个定义(Definitions)和48个命题(Propositions)。在每一卷内容当中，欧几里得都采用了与前人完全不同的叙述方式，即先提出公理、公设和定义，然后再由简到繁地证明它们。这使得全书的论述更加紧凑和明快。
而在整部书的内容安排上，也同样贯彻了他的这种独具匠心的安排。它由浅到深，从简至繁，先后论述了直边形、圆、比例论、相似形、数、立体几何以及穷竭法等内容。其中有关穷竭法的讨论，成为近代微积分思想的来源。
照欧氏几何学的体系，所有的定理都是从一些确定的、不需证明而礴然为真的基本命题即公理演绎出来的。在这种演绎推理中，对定理的每个证明必须或者以公理为前提，或者以先前就已被证明了的定理为前提，最后做出结论。对后世产生了深远的影响。它标志着几何学已成为一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。
两千多年来，《几何原本》一直是学习数学几何部分的主要教材。哥白尼、伽利略、笛卡尔、牛顿等许多伟大的学者都曾学习过《几何原本》，从中吸取了丰富的营养，从而作出了许多伟大的成就。
1582年，意大利人利玛窦到中国传教，带来了15卷本的《原本》。1600年，明代数学家徐光启（1562-1633）与利玛窦相识后，便经常来往。1607年，他们把该书的前6卷平面几何部分合译成中文，并改名为《几何原本》。后9卷是1857年由中国清代数学家李善兰（1811-1882）和英国人伟烈亚力译完的。

热心网友时间：2024-11-25 13:04

《原本》的内容和普遍的想法相反，欧几里得《原本》不是单讲几何的，它还包括相当多的数论和初等(几何的)代数．这部书有十三卷，共计465个命题．美国中学的平面几何和立体几何的课本包括第一、三、四、六、十一和十二卷中的大量材料．　　第一卷很自然地是从必要的初步的定义、公设和公理开始；我们将在5．7节中回过头来讲这些．第一卷的48个命题分为三类：头26个主要是讨论三角形的性质，包括三个全等定理；从命题127到命题132建立平行线的理论，并证明三角形的三个内角之和等于两个直角；这卷书其余的命题讨论平行四边形、三角形和正方形，特别注意面积关系；命题147是毕氏定理，附有证明(一般认为是属于欧几里得本人的)；最后一个命题，即命题I 48，是毕氏定理的逆定理．本卷书的内容是早期毕氏学派发展的．　　对第一卷的少数命题进一步加以评述，是值得的．前三个命题是作图题，它们证明：如何能利用直尺和欧几里得圆规将一线段从给定的位置转移到任何其它想到的位置(参看问题研究4．1)．由此我们能把欧几里得圆规当作现代圆规，以简化作图程序．　　命题14证明；若两个三角形的两边和夹角对应相等，它们就全等．此证明用的是叠合法，在这里，证明：一个三角形，可用置这个三角形的给定角于另一个三角形的对应角之上的方法，叠合于另一个三角形，使得对应的相等的边也重合．数学家们后来对用叠合法给出的证明提出了反对意见(参看15．1节)．　　命题Ⅰ5证明：等腰三角形两底角相等．这个命题之所以有趣，是因为：据说，这个证明把许多初学者弄糊涂了，并且，他们因此中断对几何学的进一步学习．此命题曾被称为“愚人的桥”(Pons asinorum)，因为这个命题的图形很像一座简单的支架桥，它深到了新手们难以越过的程度．欧几里得的证明中包括一些初等的作图，并且，我们复制了IssacBarrow的Euclid的一页作为该图形的实例．在此图形中，给定的等腰△BAC的等边AB和AC被延长同样长到D和F，并且，画出CD和BF．由此得出(根据命题14)：△AFB与△ADC全等，使得BF=DC和∠BDC=∠CFB．然后得出(再一次根据命题14)：△BDC与△CFB全等，保证∠DBC=∠FCB，并且，因此，∠ABC=∠ACB．实际上，此证明可被显著地缩短，正如帕普斯后来(大约公元300年)所指出的：可以直接应用命题14于△ABC和△ACB，在这里，AB与另一个三角形的AC相等，AC与另一个三角形的AB相等，并且，一个三角形中的∠BAC与另一个三角形中的∠CAB相等．　　命题Ⅰ6 证明命题Ⅰ5的逆．在此例中，在△BAC中，∠ABC=∠ACB是给定的，而我们想要证明的是：BA=CA．欧几里得用归谬法进行证明：假定BA＞CA，则BM=CA可被置于BA上．根据命题Ⅰ4，△CBM和△BCA全等，但是，这是矛盾的，因为△CBM是△BCA的真部分．由此得出：BA ≯ CA，类似地CA ≯BA，并且由此得出 BA = CA．　　这是《原本》中第一次使用归谬法或间接法．在此处之后，欧几里得常用此法．　　从命题Ⅰ9到命题Ⅰ12是作图题：其头两个是作给定角的平分角线和求给定线段的中点．这类作图题的一个目的是作为存在证明；例如，证明存在给定角的平分角线的最好办法也许是把那条平分角线作出来．　　命题Ⅰ47是毕达哥拉斯定理．欧几里得的关于此命题的图形和其漂亮的证明的摘要，可在问题研究5．3(b)中找到．　　第二卷是只有14个命题的一个薄本，讨论面积的变换和毕氏学派的几何式代数．在第三章中，我们已经讲过这卷书中的一些命题．就是在本卷书中我们发现一些代数恒等式的几何等价关系．例如，我们在3．6节中曾说明，命题Ⅱ4、Ⅱ5和Ⅱ6是如何证明下列等式的：(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)(a-b)＝a2-b2，4ab+(a-b)2＝(a+b)2．　　尤其有趣的是命题ⅡⅠ2和Ⅱ13，这两个命题合并在一起用现代语言来说，即：　　在一个钝角(锐角)三角形中，该钝角(锐角)对边的平方等于三角形其余两边的平方和加上(减去)这两边之一与另一边在其上的投影之积的二倍．　　这两个命题是毕氏定现的推广，我们现在称之为“余弦定理”．　　今天有一些数学史家，不顾长期保持的信念，热烈地争论着：第二卷的这些命题是否真的旨在于几何式的代数．　　第三卷有三十九个命题，包括中学几何课本中许多关于圆、弦、割线、切线及有关角的量度的定理．第四卷只有十六个命题，讨论用直尺和圆规作正三角形、正四、五、六和十五边形；以及在给定圆内(外)作这些内接(外切)正多边形．由于在毕氏学派的著作中很少见到《原本》第三卷和第四卷中给出的圆的几何学，也许这两卷书的材料是早期诡辩派和第四章中讨论的三个著名问题的研究者提供的．　　第五卷是对欧多克斯比例理论的精彩的阐述．正是这个既可应用于可通约的量又可应用于不可通约的量的理论，消除了由于毕氏学派发现无理数而产生的“逻辑背理”．欧多克斯的比例定义(即两个比的相等)是很重要的，值得在这里重复一下．　　如果有四个量，取第一量和第三量的任何相等的倍数，取第二量和第四量的任何相等的倍数，当第一个量的倍数大于、等于或小于第二个量的倍数时，相应地有第三个量的倍数大于、等于或小于第四个量的倍数，那么我们就说，第一量与第二量的比等于第三量与第四量的比．　　换句话说，如果A、B、C、D是四个不分正负的量，A和B为同类量(均为线段、或角、或面积、或体积)，C和D为同类量，且对于任意正整数m和n，相应于mAnB有mCnD，则A与B的比等于C和D的比．欧多克斯的比例理论为数学分析的实数系提供了一个基础，后来又被戴德金(Dedekind)和魏尔斯特拉斯(Weierstrass)发展了．　　第六卷把欧多克斯的比例理论应用于平面几何．其中有：关于相似三角形以及比例第三项、比例第四项和比例中项的作图的基本定理；在第三章中考虑过的二次方程的几何解；命题：三角形的一个角的平分线，分其对边为两线段，这两线段之比等于另外两边之比；毕氏定理的推广，其中以直角三角形三个边上的相似形代替正方形，及许多其它定理．本卷书中的定理，几乎没有一个是早期毕氏学派不知道的，但是对于其中许多定理，欧多克斯之前的证明是错误的；因为它们是以不完全的比例理论为根据的．　　第七、八、九卷总共包括102个命题，讲的是初等数论．第七卷从求两个或两个以上整数的最大公约数的方法[今称为欧几里得算法(Euclidean algorithm)]开始，并用它检验两个整数是否互素(参看问题研究5．1)，其中还有关于数值的(或毕氏学派的)比例理论的一个解释．在本卷书中确立了数的许多基本性质．　　第八卷大部分讲的是连比和有关的几何级数．如果我们有连比a∶b=b∶c=c∶d，则a、b、c、d构成一个几何级数．　　在第九卷中有一些重要的定理．命题Ⅸ 14等价于重要的算术基本定理(funda－mental theorem of arithmetic)，即　　任何大于1的整数能以一种(且本质上仅有一种)方法表示成素数的乘积．　　命题Ⅸ 35给出几何级数前n项和的公式的几何方法的推导．最后一个命题，即Ⅸ 36，建立了完全数的著名公式，这在3．3节中已经讲过．　　命题Ⅸ 20(素数有无限多个)的欧几里得证明，已被数学家们普遍地认为是数学的典范，此证明用的是间接方法① 不用间接方法，将证明系统地作出也很容易。即归谬法(rection ad pabsurm)，现简述如下．假如只有有限个素数，我们用a，b，……，k表示之．设P=a．b……k，则P+1要么是素数，要么是合数．但是，因为a，b，……k是全部素数，而P+1大于a，b，……k中的的任一个数，所以不可能是素数．另一方面，如果P+1是合数，它必定能被某素数p整除．但是p必定是全部素数a，b，……k的集合中的一个元素，这就是说，p是P的一个因子，结果p不能整除P+1，因为P＞1．于是我们最初的假设(素数只有有限个)不能成立，则此定理得证．　　第十卷讨论无理数，即讨论与某给定线段不可通约的线段．许多学者认为本卷书也许是《原本》中最重要的一卷．一般认为这卷书的大部分题材来源于狄埃泰图斯；但是使其充分完整、精心分类和最后完成则通常归功于欧几里得．我们很难相信，不借助于任何方便的代数符号，单凭抽象的推理就得出这卷书中的结论．开始的命题(Ⅹ1)是后面在第十二卷中采用穷竭法的基础，即　　如果从任一量中减去不小于它的一半的部分，再从余下的部分中减去不小于它的一半部分，继续下去，则最后余下的量将小于任何指定的这种量．　　本卷书还有生成毕氏三数的公式；古代巴比伦人可能比这早一千多年就知道了这几个公式(参看2．6节)．　　余下的三卷书：第十一、十二、十三卷，讲立体几何，除了关于球体的论述外，其大部分内容在中学课本中通常都能找到．关于空间中的直线和平面的定义、定理，以及关于平行六面体的定理，可在第十一卷中找到．穷竭法在第十二卷，论述体积时起重要作用，将在本书第十一章中细讲．在第十三卷中叙述球的五种内接正多面体的作图法．　　常有这样的说法，即欧几里得《原本》实际上只是想探讨五种正多面体．这个评价看来是很不全面的．一个比较适当的评价是：它是想要在当时起初级普通数学课本的作用．欧几里得还写了关于高等数学的课本．　　最后，谈谈“elements”(原本)这个术语的意思．普罗克拉斯(Proclus)曾告诉过我们：演绎研究的：“elements”，古代希腊人指的是在该学科中具有广泛的和一般的应用的最重要的定理．其作用可同字母表中的字母对语言的作用相比：事实上，希腊文中的：“字母”就是这个词．亚里士多德在他的《形而上学》(Metaphysics)一书中说：“在几何命题中，我们把这样一些命题称为‘elements’，这些命题的证明包含于所有或大多数几何命题的证明之中．”选择作为学科的“elements”的定理，需要有相当的判断力；在这方面，欧几里得的《原本》比所有较早的著作要高明的多．　　因此，另一个常说的评语：欧几里得《原本》是想将他那个时代知道的全部平面和立体几何概括无遗，这显然是错误的．欧几里得知道的几何学比写在他的《原本》上的要多得多．　