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求微分方程特解通解

发布网友 发布时间:2023-10-11 19:34

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2个回答

热心网友 时间:2024-12-14 17:52

(1). 求微分方程 y'+2xy+2x=0满足条件 y(0)=2的特解
解:先求齐次方程 y'+2xy=0的通解:分离变量得 dy/y=-2xdx;积分之得lny=-x²+lnc₁;
故齐次方程的通解为:y=c₁e^(-x²);将c₁换成x的函数u,得y=ue^(-x²)..........①
对①取导数得:y'=u'e^(-x²)-2xue^(-x²).........②
将①②代入原式并化简得:u'e^(-x²)+2x=0;分离变量得:=-2xe^(x²)dx;
积分之得u=-∫2xe^(x²)dx=-∫d[e^(x²)]=-e^(x²)+c; 代入①式即得原方程的通解:
y=[-e^(x²)+c]e^(-x²)=ce^(-x²)-1;代入初始条件得c=3;故特解为y=3e^(-x²)-1;
(3)。求微分方程 y'-[1/(x+1)]y=(1+x)e^x的通解
解: 先求齐次方程 y'-[1/(x+1)]y=0的通解:dy/y=dx/(1+x);故lny=ln[c(1+x),y=c(1+x);
将c换成x的函数u,得y=u(1+x).......①;取导数得 y'=u'(1+x)+u.......②
将①②代入原式并化简得:u'=e^x;故u=e^x;代入①式即得原方程的通解为:y=(1+x)e^x;
【题目太多了,若都给你作,提交时会缩成一堆。其它题作法雷同。】

热心网友 时间:2024-12-14 17:53

解:微分方程为y'+2xy+2x=0,化为y'e^x²+2xye^x²=-2xe^x²,(ye^x²)'=-2xe^x²,ye^x²=-e^x²+c,微分方程的通解为y=-1+c/e^x² (c为任意常数)
又∵y(0)=2 ∴有2=-1+c,得:c=3,微分方程的通解为y=-1+3/e^x²
解:微分方程为y'-y/(x+1)=x²+x,y'/(x+1)-y/(x+1)²=x,[y/(x+1)]'=x,y/(x+1)=0.5x²+c,微分方程的通解为y=(0.5x²+c)(x+1) (c为任意常数)
解:微分方程为y'+y=e⁻ˣ,化为y'eˣ+yeˣ=1,(yeˣ)'=1,yeˣ=x+c,微分方程的通解为y=(x+c)e⁻ˣ
解:微分方程为y'-y/(x+1)=eˣ(x+1),化为y'/(x+1)-y/(x+1)²=eˣ,[y/(x+1)]'=eˣ,y/(x+1)=eˣ+c,微分方程的通解为y=(eˣ+c)(x+1)
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