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直三棱柱ABC-A1B1C1中,B1C1=A1C1,AC1垂直A1B,M,N分别是A1B1,AB的中点

发布网友 发布时间:2022-04-26 18:02

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热心网友 时间:2023-10-19 20:34

1、∵C1M⊥平面A1ABB1,

A1B∈平面AA1B1B,

∴C1M⊥A1B,

∵AC1⊥A1B,(已知),

C1M∩AC1=C1,

∴A1B⊥平面AC1M,

∵AM∈平面AC1M,

∴A1B⊥AM。

2、∵M、N分别是A1B1和AB的中点,

A1B1=AB,A1B1//AB,

∴MB1//AN,MB1=AN,

∴四边形ANB1M是平行四边形,

∴B1N//AM,

∵四边形ANMA1是平行四边形,

∴MN//AA1,MN=AA1,

∵AA1//CC1,AA1=CC1,

∴MN=CC1,MN//CC1,

∴四边形MNCC1是平行四边形,

∴C1M//CN,

∵C1M∩AM=M,CN∩NB=N,

∴平面AMC1//平面NB1C。

3、由前所述,A1B⊥平面AMC1,

而平面NB1C//平面AMC1,

则A1B⊥平面NB1C,

B1C∈平面NB1C,

∴A1B⊥B1C,即A1B和B1C所成角为90度。

追问四棱锥PABCD的底面是矩形,PA垂直面ABCD E,F 分别是AB PD的中点,二面角P-CD-B=45  
1 AF//面PEC
2 求证面PEC垂直面PCD
3 设AD=2 CD=2根号2 求点A到面PEC的距离

()

追答1、取CD中点M,连结AM、FM,FM是△PDC中位线,FM//PC,四边形AECM是平行四边形,AM//CE,FM∩AM=M,PC∩CE=C,
∴平面AFM//平面PEC,
∵AF∈平面AFM,
∴AF//平面PEC。
2、∵CD⊥AD,PA⊥平面ABCD,
根据三垂线定理,
∴CD⊥PD,
∵〈PDA是二面角P-DC-AB的平面角,
∴〈PDA=45°,
∴△PAD是等腰RT△,
F是PD中点,
则AF⊥PD,
∵PA⊥平面ABCD,CD∈平面ABCD,
∴CD⊥PD,
PD∩AF=F,
∴CD⊥平面PAD,
AF∈平面PAD,
∴AF⊥CD,
∵PD∩CD=D,
∴AD⊥平面PDC,
AF∈平面AFM,
∴平面AFM⊥平面PDC,
前已证平面AFM//平面PEC,
∴平面PEC⊥平面PCD。(一平面和二平行平面相交,若和其中一平面垂直,则必和另一平面垂直。
3、连结AC,AD=2,AB=CD=2√2,AP=AD=2,
S△ABC=AB*BC/2=2√2,
VP-ABC=AP*S△ABC/3=4√2/3,
设A至平面PBC距离为d,
VA-PBC=S△PBC*h/3,
根据勾股定理,PB=2√3,
根据三垂线定理,BC⊥PB,
△PBC是RT△,
S△PBC=PB*BC/2=2√3,
VA-PBC=2√3h/3
VP-ABC=VA-PBC,
2√3h/3=4√2/3,
h=2√6/3,
点A到面PEC的距离为2√6/3。

热心网友 时间:2023-10-19 20:34

证明(1)∵M,N分别为A1B1,AB中点,
∴B1M∥NA且B1M=NA,
∴四边形B1NAM是平行四边形
∴B1N∥AM
又∵AM⊂平面AMC,B1N⊄平面AMC1,
∴B1N∥平面AMC1
连接MN,
∵矩形BB1A1A中,M、N分别是A1B1、AB的中点
∴BB1∥MN且BB1=MN
∵BB1∥CC1且BB1=CC1
∴四边形CC1MN是平行四边形,
∴MC1∥CN,
∵MC1⊂平面AMC,CN⊄平面AMC1,
∴CN∥平面AMC1,
∵CN⊂平面B1CN,B1N⊂平面B1CN,CN∩B1N=N,
∴平面B1CN∥平面AMC1;
(2)∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,
BB1⊥平面A1B1C1,C1M⊂平面A1B1C1
∴C1M⊥BB1
又∵B1C1=A1C1,M为A1B1中点,
∴C1M⊥A1B1,
∵A1B1∩BB1=B1,A1B1、BB1⊂平面AA1B1B
∴C1M⊥平面AA1B1B,
∵A1B⊂平面AA1B1B,
∴C1M⊥A1B,
又∵AC1⊥A1B,C1M∩AC1=C1,C1M、AC1⊂平面AC1M,
∴A1B⊥平面AC1M,
∵AM⊂平面AC1M,
∴A1B⊥AM.
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