黎曼球面的作为球面
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发布时间：2022-04-26 20:35
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时间：2023-10-30 07:56
从复数A到黎曼球面上的一点α的球极投影。
黎曼球面可以显示为三维实空间中的单位球面x^2+y^2+(z-1)^2=1.为此，考虑从单位球减去一点(0,0,1)到（赤道）平面z = 0的球极投影，可以将该平面等同于复平面ζ = x + iy.在笛卡尔坐标系(x,y,z)和球面坐标系(φ,θ)中（其中φ为天顶角而θ为方位角)，该投影为
类似的，从(0,0, − 1)到z = 0平面的球极投影将另一份复平面ξ = x − iy等同于赤道平面，记为
(两份复平面和平面z = 0的对应方式不同。必须使用定向翻转来保证球面上定向的一致性，实际上复共轭使得变换映射成为全纯函数。）ζ-坐标和ξ-坐标之间的变换函数可以通过将其中一个映射和另一个的逆的复合得到。它们就是如上所述的ζ = 1 / ξ和ξ = 1 / ζ。因此单位球面和黎曼球面微分同胚。
在这个微分同胚下，ζ-图中的单位圆，ξ-图中的单位圆，以及单位球面的赤道可以等同起来。单位圆盘 | ζ | < 1和南半球面z < 0，单位圆盘 | ξ | < 1和北半球面z > 0分别等同。
