平面向量的运算公式
发布网友
发布时间：2022-04-26 20:30
共2个回答
热心网友
时间：2023-08-03 18:57
b=(x'，y')
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则
AB+BC=AC
a+b=(x+x'，y+y')
a+0=0+a=a
向量加法的运算律
交换律：a+b=b+a
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量
那么a=-b
b=-a
a+b=0
0的反向量为0
AB-AC=CB
即“共同起点，指向被减”
a=(x,y)
b=(x',y')
则
a-b=(x-x',y-y')
4、数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量
记作λa
且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣
当λ＞0时
λa与a同方向
当λ＜0时
λa与a反方向
当λ=0时
λa=0，方向任意
当a=0时
对于任意实数λ
都有λa=0
注：按定义知
如果λa=0
那么λ=0或a=0
实数λ叫做向量a的系数
乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩
当∣λ∣＞1时
表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍
当∣λ∣＜1时
表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa
数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb
数乘向量的消去律：①
如果实数λ≠0且λa=λb
那么a=b
②
如果a≠0且λa=μa
那么λ=μ
3、向量的的数量积
定义：已知两个非零向量a
b
作OA=a
OB=b
则角AOB称作向量a和向量b的夹角
记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量
记作a•b
若a、b不共线
则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉
若a、b共线
则a•b=+-∣a∣∣b∣
向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y'
向量的数量积的运算律
a•b=b•a（交换律）
(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律)
（a+b)•c=a•c+b•c（分配律）
向量的数量积的性质
a•a=|a|的平方
a⊥b
〈=〉a•b=0
|a•b|≤|a|•|b|
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律
即：(a•b)•c≠a•(b•c)
例如：(a•b)^2≠a^2•b^2
2、向量的数量积不满足消去律
即：由
a•b=a•c
(a≠0)
推不出
b=c
3、|a•b|≠|a|•|b|
4、由
|a|=|b|
推不出
a=b或a=-b
4、向量的向量积
定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量
记作a×b
若a、b不共线
则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a，b〉
a×b的方向是：垂直于a和b
且a、b和a×b按这个次序构成右手系
若a、b共线
则a×b=0
向量的向量积性质
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积
a×a=0
a‖b〈=〉a×b=0
向量的向量积运算律
a×b=-b×a
（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）
（a+b）×c=a×c+b×c
注：向量没有除法
“向量AB/向量CD”是没有意义的
向量的三角形不等式
1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣
①
当且仅当a、b反向时
左边取等号
②
当且仅当a、b同向时
右边取等号
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣
①
当且仅当a、b同向时
左边取等号
②
当且仅当a、b反向时
右边取等号
定比分点
定比分点公式（向量P1P=λ•向量PP2）
设P1、P2是直线上的两点
P是l上不同于P1、P2的任意一点
则存在一个实数
λ
使
向量P1P=λ•向量PP2
λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比
若P1（x1,y1)
P2(x2,y2)
P(x,y)
则有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ)
（定比分点向量公式）
x=(x1+λx2)/(1+λ)
y=(y1+λy2)/(1+λ)（定比分点坐标公式）
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
三点共线定理
若OC=λOA
+μOB
且λ+μ=1
则A、B、C三点共线
三角形重心判断式
在△ABC中
若GA
+GB
+GC=O,则G为△ABC的重心
[编辑本段]向量共线的重要条件
若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ
使a=λb
a//b的重要条件是
xy'-x'y=0
零向量0平行于任何向量
[编辑本段]向量垂直的充要条件
a⊥b的充要条件是
a•b=0
a⊥b的充要条件是
xx'+yy'=0
零向量0垂直于任何向量
热心网友
时间：2023-08-03 18:58
